Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là:

A. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\frac{1}{x^2}+C$

C. $x^3-3x^2+\ln x+C$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-\ln \left|x\right|+C$

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\left(C\right):\hspace{0.17em}y=\sqrt{x}; d: y=\frac{1}{2}x$. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. $8\mathrm{\pi }$

B. $\frac{16\mathrm{\pi }}{3}$

C. $\frac{8\mathrm{\pi }}{3}$

D. $\frac{8\mathrm{\pi }}{15}$

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^2; Ox.$ Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?

A. $\frac{16}{15}$

B. $\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

C. $\frac{4}{3}$

D. Đáp án khác

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn $0 < g\left(x\right) < f\left(x\right), \forall x \in [a;b].$ Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: $y = f\left(x\right), y = g\left(x\right), x = a; x = b.$Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2\mathrm{dx}$

B. $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left[{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{g}}^2\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{dx}$

C. ${\left\{\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{dx}\right\}}^2$

D. ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right|\mathrm{dx}$

Cho đồ thị hàm số $y = f\left(x\right).$ Diện tích hình phẳng (phần có đánh dấu gạch trong hình) là:

A. ${\int }_{-3}^{0}f\left(x\right)dx+{\int }_4^{0}f\left(x\right)dx$

B. ${\int }_{-3}^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_1^{4}f\left(x\right)dx$

C. ${\int }_0^{-3}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{4}f\left(x\right)dx$

D. ${\int }_{-3}^{4}f\left(x\right)dx$

 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = x^2 + x - 1 và y = x^4 + x - 1$ là:

A. $\frac{8}{15} \left(dvtt\right)$

B. $\frac{7}{15} \left(dvtt\right)$

C. $\frac{-7}{15} \left(dvtt\right)$

D. $\frac{4}{15} \left(dvtt\right)$

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = x^2,$ trục hoành và hai đường thẳng $x = -1, x = 3 là:$

A. $\frac{28}{9} \left(dvtt\right)$

B. $\frac{28}{3} \left(dvtt\right)$

C. $\frac{1}{3} \left(dvtt\right)$

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f_1\left(x\right), y = f_2\left(x\right)$ liên tục và hai đường thẳng$x = a, x = b$được tính theo công thức:

A. $S={\int }_a^b\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx$

B. $S=\left|{\int }_a^b{f}_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)dx\right|$

C. $S={\int }_a^b\left[f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right]dx$

D. $S={\int }_a^b{f}_1\left(x\right)-{\int }_a^b{f}_2\left(x\right)dx$

Tích phân $I={\int }_0^4\left|x-2\right|dx$ bằng:

A. 0.

B. 2.

C. 8.

Tích phân $K={\int }_1^2\left(2x-1\right)\ln xdx$ bằng:

A. $K=3\ln 2+\frac{1}{2}$

B. $K=\frac{1}{2}$

C. $K=3\ln 2$

D. $K=2\ln 2-\frac{1}{2}$

Tích phân $I={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{x}^2\sin xdx$ bằng:

A. ${\mathrm{\pi }}^2-4$

B. ${\mathrm{\pi }}^2+4$

C. $2{\mathrm{\pi }}^2-3$

D. $2{\mathrm{\pi }}^2+3$

Đổi biến $x = 2\sin t$ tích phân ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$ trở thành:

A. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}tdt$

B. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}dt$

C. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}\frac{1}{t}dt$

D. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}dt$

Tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin xdx$ bằng:

A. –1

B. 1

C. 2

Biết ${\int }_0^b\left(2x-4\right)dx=0$. Khi đó b nhận giá trị bằng:

A. b = 0 hoặc b = 2.

B. b = 0 hoặc b = 4.

C. b = 1 hoặc b = 2.

D. b = 1 hoặc b = 4.

Tích phân $K={\int }_2^3\frac{x}{x^2-1}$ bằng

A. K = ln 2

B. K = 2 ln 2

C. $K=\ln \frac{8}{3}$

D. $K=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{3}$

Tích phân $I={\int }_0^1\left(3x^2+2x-1\right)dx$ bằng

A. I = 1.

B. I = 2.

C. I = 3.

D. I = -1.

Giả sử ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=2 và {\int }_c^{b}f\left(x\right)dx=3$ và $a < b < c$ thì ${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx$ bằng bao nhiêu ?

A. 5.

B. 1. 

C. –1.

D. –5

Tính nguyên hàm $I={\int }_{}^{}\frac{\ln \left(\ln x\right)}{x}dx$ được kết quả nào sau đây?

A. I = ln x.ln (ln x) + C

B. I = ln x.ln(ln x) + ln x + C

C. I = ln(ln x) - ln x + C

D. I = ln(ln x) + ln x + C

Một nguyên hàm của$f\left(x\right) = x.\ln x$ là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = 1?

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}\left(x^2+1\right)$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x+\frac{1}{4}x+1$A. 

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}x\ln x+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)$

D. Một kết quả khác

Kết quả của $I = \int x{e}^x.dx là:$

A. $I=e^x+x{e}^x+C$

B. $I=\frac{x^2}{2}{e}^x+C$

C. $I=x{e}^x-e^x+C$

D. $I=\frac{x^2}{2}{e}^x+e^x+C$

Để tính$\int x^2.\cos x.dx$theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=x\cos xdx\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}u=x^2\\ dv=\cos xdx\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}u=\cos x\\ dv=x^{2}dx\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}u=x^2\cos x\\ dv=dx\end{array}\right.$

Để tính$\int \mathrm{xln}(2 + \mathrm{x}).\mathrm{dx}$ theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{\begin{array}{l}u=v\\ dv=\ln \left(2+x\right)dx\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2+x\right)\\ dv=xdx\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}u=x\ln \left(2+x\right)\\ dv=dx\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2+x\right)\\ dv=dx\end{array}\right.$

F(x) là nguyên hàm của hàm số $y = {\sin }^{4}x.\cos x.$

F(x) là hàm số nào sau đây?

A. $F\left(x\right)=\frac{{\cos }^{5}x}{5}+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{{\cos }^{4}x}{4}+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{{\sin }^{5}x}{5}+C$

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$.

Nếu $F\left(e^2\right)=4 thì {\int }_{}^{}\frac{\ln x}{x}dx bằng$

A. $F\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+2$

C. $F\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}-2$

D. $F\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+x+C$

F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = x{e}^{x^2}$. Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+2$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}+5\right)$

C. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{-1}{2}\left(2-e^{x^2}\right)$

Để tính ${\int }_{}^{}\frac{e^{\ln x}}{x}dx$ theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A.  $t=e^{\ln x}$

B. t = ln x

C. t = x

D. $t=\frac{1}{x}$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}$

A. ${\int }_{}^{}f\left(x\right)dx=\frac{2}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C$

B. ${\int }_{}^{}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C$

C. ${\int }_{}^{}f\left(x\right)dx=\frac{-1}{3}\sqrt{2x-1}+C$

D. ${\int }_{}^{}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\sqrt{2x-1}+C$

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là nguyên hàm của $f\left(x\right) = e^{3x}$

A. $e^{3x}$

B. 3$e^{3x}$

C. $\frac{1}{3}{e}^{3x}$

D. -3$e^{3x}$

Tìm$\int (\cos 6x - \cos 4x)dx là:$

A. $-\frac{1}{6}\sin 6x+\frac{1}{4}\sin 4x+C$

B. $6\sin 6x-5\sin 4x+C$

C. $\frac{1}{6}\sin 6x-\frac{1}{4}\sin 4x+C$

Tìm hàm số $y = f\left(x\right)$ biết $f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2-x\right)\left(x+1\right)$ và$f\left(0\right) = 3$

A. $y=f\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}-3$

B. $y=f\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+3$

C. $y=f\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+3$

D. $y=f\left(x\right)=3x^2-1$

Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)={\left(\frac{x^2+1}{x}\right)}^2 \left(x\ne 0\right)$ là

A. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x}+2x+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{x}+2x+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{\frac{x^3}{3}+x}{{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}+C$

D. $F\left(x\right)={\left(\frac{\frac{x^3}{3}+x}{{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}\right)}^2+C$

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x^2}\left(x\ne 0\right)$, biết rằng$F(-1) = 1, F\left(1\right) = 4, f\left(1\right) = 0.$F(x) là biểu thức nào sau đây

A. $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{2}-\frac{3}{2x}-\frac{1}{2}$

B. $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{4}-\frac{3}{2x}-\frac{7}{4}$

C. $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{2}+\frac{3}{4x}-\frac{7}{4}$

D. $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{4}+\frac{3}{2x}+\frac{7}{4}$

F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x^2}$, biết rằng F(1) = 1. F(x) là biểu thức nào sau đây

A. $F\left(x\right)=2x-\frac{3}{x}+2$

B. $F\left(x\right)=2\ln \left|x\right|+\frac{3}{x}+2$

C. $F\left(x\right)=2x+\frac{3}{x}-4$

D. $F\left(x\right)=2\ln \left|x\right|-\frac{3}{x}+4$

Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^4+3}{x^2}\left(x\ne 0\right)$ là

A. $F\left(x\right)=\frac{2x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$

C. $F\left(x\right)=-3x^3-\frac{3}{x}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{2x^3}{3}+\frac{3}{x}+C$

Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?

A. ${\int }_{}^{}\frac{dx}{x}=\ln x +\hspace{0.17em}C$

B. ${\int }_{}^{}{x}^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} +\hspace{0.17em}C\left(\alpha \ne -1\right)$

C. ${\int }_{}^{}{\alpha }^{x}dx=\frac{{\alpha }^x}{\ln \alpha } +\hspace{0.17em}C\left(0<\alpha \ne -1\right)$

D.  ${\int }_{}^{}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$

 Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$ là :

A. $\ln x-\ln x^2+C$

B. $\ln x-\frac{1}{x}+C$

C. $\ln x+\frac{1}{x}+C$

D. $\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}+C$

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là:

A. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\frac{1}{x^2}+C$

C. $x^3-3x^2+\ln x+C$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-\ln \left|x\right|+C$

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của khối trụ.

A. $\frac{a^2\mathrm{\pi }\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{27a^2\mathrm{\pi }}{2}$

C. $a^2\mathrm{\pi }\sqrt{3}$

D. $\frac{13a^2\mathrm{\pi }}{2}$

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng 45°. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP.

A. $\frac{a^3}{48}$

B. $\frac{a^3}{16}$

C. $\frac{a^3}{6}$

D. $\frac{a^3}{24}$

Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Tính bán kính đáy r của hình nón đã cho.

A. $r=\frac{8a}{3}$

B. $r=2\sqrt{2}a$

C. $r=\frac{4a}{3}$

D. $r=\sqrt{2}a$