I. Trắc nghiệm ( 6 điểm)

Cho một mặt cầu có diện tích là S, thể tích khối cầu đó là V. Tính bán kính R của mặt cầu.

A. $R=\frac{3V}{S}$

B. $R=\frac{S}{3V}$

C. $R=\frac{4V}{S}$

D. $R=\frac{V}{3S}$

Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Tính diện tích xung quanh của phễu?

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD quanh MN thành một hình trụ. Gọi (S) là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ, tính có bán kính của mặt cầu (S)?

Trong không gian, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4a.Tính diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều đó.

Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8 cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4 cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là?

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước $50cm x 240cm,$người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu $V_1$là thể tích của thùng được theo cách 1 và $V_2$là tổng thể tích của hai thùng được theo cách 2. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

A. $\frac{V_1}{V_2}$ = 1

B. $\frac{V_1}{V_2}$ = 2

C. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}$ 

D. $\frac{V_1}{V_2}$ = 4

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có $AB = 1 và AD = 2.$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần $S_{tp}$của hình trụ đó.

A. $S_{tp}=6\mathrm{\pi }$

B. $S_{tp}=2\mathrm{\pi }$

C. $S_{tp}=4\mathrm{\pi }$

D. $S_{tp}=10\mathrm{\pi }$

Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6π(cm) và thiết diện đi qua trục là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 cm.

A. $48\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^3\right)$

B. $24\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^3\right)$

C. $72\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^3\right)$

D. $18\mathrm{\pi }\sqrt{34}72\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^3\right)$

Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao $a\sqrt{3}$

A. $2{\mathrm{\pi a}}^2\left(\sqrt{3}-1\right)$

B. ${\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}$

C. ${\mathrm{\pi a}}^2\left(\sqrt{3}+1\right)$

D. $2{\mathrm{\pi a}}^2\left(\sqrt{3}+1\right)$

Cho một hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h và thể tích $V_1$; một hình nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và có thể tích $V_2$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. $V_2=3V_1$

B. $V_1=2V_2$

C. $V_1=3V_2$

D. $V_2=V_1$

Một khối trụ có bán kính đáy bằng r có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.

A. ${\mathrm{\pi r}}^2$

B. $8{\mathrm{\pi r}}^2$

C. $4{\mathrm{\pi r}}^2$

D. $2{\mathrm{\pi r}}^2$

Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình trụ có đường cao h = a và thể tích $V={\mathrm{\pi a}}^3$

A. $S_{xq}=4{\mathrm{\pi a}}^2$

B. $S_{xq}=6{\mathrm{\pi a}}^2$

C. $S_{xq}=8{\mathrm{\pi a}}^2$

D. $S_{xq}=2{\mathrm{\pi a}}^2$

Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao là h.

A. $V={\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}$

B. $V={\mathrm{\pi Rh}}^2$

C. $V={\pi }^{2}R\mathrm{h}$

D. $V=2\mathrm{\pi Rh}$

Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức luôn đúng là?

A. l = h

B. R = h

C. $R^2=h^2+l^2$

D. $l^2=h^2+R^2$

Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là $a\sqrt{3}$

A. $2{\mathrm{\pi a}}^2$

B. $2{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}$

C. ${\mathrm{\pi a}}^2$

D. ${\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}$

Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều SABC cạnh a, có diện tích xung quanh là:

A. $S_{xq}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2}{3}$

B. $S_{xq}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}}{3}$

C. $S_{xq}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}}{3}$

D. $S_{xq}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}}{6}$

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc $\widehat{SAB}=60°$. Thể tích của hình nón đỉnh S đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD là:

A. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{2}}{12}$

C. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{6}$

Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, $AB=a\sqrt{10}, BC=2a$ Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.

A. $V=2{\mathrm{\pi a}}^3$

B. $V=3{\mathrm{\pi a}}^3$

C. $V=9{\mathrm{\pi a}}^3$

D. $V={\mathrm{\pi a}}^3$

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy $SC=a\sqrt{6}$. Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:

A. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3}{3}$

B. $\frac{a^3\mathrm{\pi }\sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{\mathrm{\pi }{a}^3\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{\mathrm{\pi }{a}^3\sqrt{3}}{6}$

Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là:

A. $a^3\mathrm{\pi }\sqrt{3}$

B. $\frac{2\sqrt{3}{\mathrm{\pi a}}^3}{9}$

C. $\frac{a^3\pi \sqrt{3}}{24}$

D. $\frac{3a^3\mathrm{\pi }}{8}$

Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó:

A. $5\mathrm{\pi }\sqrt{41}$

B. $25\mathrm{\pi }\sqrt{41}$

C. $75\mathrm{\pi }\sqrt{41}$

D. $125\mathrm{\pi }\sqrt{41}$

Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là :

A. ${\mathrm{\pi a}}^2$

B. $2{\mathrm{\pi a}}^2$

C. $\frac{1}{2}{\mathrm{\pi a}}^2$

D. $\frac{3}{4}{\mathrm{\pi a}}^2$

Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:

A. Một hình trụ

B. Một hình nón

C. Một hình nón cụt

D. Hai hình nón

Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$.

A. $\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{3a\sqrt{6}}{8}$

Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a, chiều cao AH. Quay đường tròn (C) xung quanh trục AH, ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là:

A. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{54}$

B. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3}{9}$

C. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3}{3}$

Một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt cầu là bao nhiêu? $(lấy \mathrm{\pi }\approx \frac{22}{7}$ và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

A. 379,94 $m^2$

B. 697,19 $m^2$

C. 380,29 $m^2$

D. 95,07 $m^2$

Thể tích của một khối cầu là $113\frac{1}{7} c{m}^3$ thì bán kính nó là bao nhiêu ? $\left(lấy \mathrm{\pi }\approx \frac{22}{7}\right)$

A. 6 cm.

B. 2 cm.

C. 4 cm.

D. 3 cm.

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O tới (α) bằng d. Nếu d < R thì giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt cầu S(O;R) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

A. $\sqrt{Rd}$

B. $\sqrt{R^2+d^2}$

C. $\sqrt{R^2-d^2}$

D. $\sqrt{R^2-2d^2}$

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

B. Đường thẳng trung trực của AB.

C. Mặt phẳng song song với đường thẳng AB.

D. Trung điểm của đoạn thẳng AB.

Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng Δ. Biết khoảng cách từ O tới Δ bằng d. Đường thẳng Δ tiếp xúc với S(O; R) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

A. d = R.

B. d > R

C. d < R.

D. d ≠ R.

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu (S) là

A. Một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.

B. Tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.

C. Trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.

D. Tâm của hình hộp chữ nhật.

Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

A. $\sqrt{2R^2-d^2}$

B. $\sqrt{d^2-R^2}$

C. $\sqrt{R^2-2d^2}$

D. $\sqrt{d^2+R^2}$

Cho một mặt cầu có diện tích là S, thể tích khối cầu đó là V. Tính bán kính R của mặt cầu.

A. $R=\frac{3V}{S}$

B. $R=\frac{S}{3V}$

C. $R=\frac{4V}{S}$

D. $R=\frac{V}{3S}$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của AB. Mặt phẳng (AA'C'C) tạo với đáy một góc bằng 45°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết BD = a, $AC=a\sqrt{3}$

I. Tự luận ( 5 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh $BC=a\sqrt{2}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABC theo a bằng?

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Tỉ số thể tích giữa khối chóp A'.ABC và khối lăng trụ đó là

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

Cho hình chóp S.ABC. Gọi (α) là mặt phẳng qua C và song song với AB. (α) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Tính tỉ số $\frac{SM}{SA}$ biết (α) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

A. $\frac{1}{2}$ 

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$  

C. $\frac{1}{4}$ 

D. $\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB = a; SA = a.

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. $a^3$

D. $\frac{a^3}{3}$

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối tứ diện.

A. 4

B. 3

C. 2

D. 6