Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E và F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB , AC.

a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24.

Hình 2.16 đúng hay sai? Tại sao?

Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S (h.2.15).

Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn thẳng BC (h.2.12). Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) không và đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) không?

Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước trên mặt bàn? (h.2.11).

Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.

Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1;-3), bán kính 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I;2) qua phép đồng dạng có đưuọc từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox.

Cho vectơ $\overrightarrow{v}$ đường thẳng d vuông góc với giá của $\overrightarrow{v}$. Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\frac{\overrightarrow{v}}{2}$ . Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’.

Hướng dẫn. Dùng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3;-2), bán kính 3.

a. Viết phương trình của đường tròn đó.

b. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I;3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v=(-2 ;1).

c. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I;3) qua phép đối xứng trục Ox.

d. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I;3) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d có phương trình $3x + y + 1 = 0$. Tìm ảnh của A và d.

a. Qua phép tịnh tiến theo vectơ v=(2;1);

b. Qua phép đối xứng trục Oy;

c. Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ;

d. Qua phép quay tâm O góc ${90}^o$.

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF.

a. Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB

b. Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE.

c. Qua phép quay tâm O góc quay ${120}^o$.

Nêu cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d. Hãy tìm một phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự.

a. Biến A thành chính nó;

b. Biến A thành B;

c. Biến d thành chính nó.

Thế nào là hai hình bằng nhau, hai hình đồng dạng với nhau? Cho ví dụ.

Hãy nêu một số tính chất đúng đối với phép dời hình mà không đúng với phép đồng dạng.

Phép đồng dạng có phải là phép vị tự không?

Hãy kể tên các phép dời hình đã học.

Thế nào là một phép biến hình, phép dời hình, phép đồng dạng? Nêu mối liên hệ giữa phép dời hình và phép đồng dạng.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A, tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1;1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc ${45}^o$ và phép vị tự tâm O, tỉ số căn 2 .

Cho tam giác ABC. Dựng ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B có tỉ số $½$và phép đối xứng qua đường trung trực của BC.

Hai đường tròn (hai hình vuông, hai hình chữ nhật) bất kì có đồng dạng với nhau không?

Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đồng dạng F, tỉ số k. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M’ = F(M) là trung điểm của A’B’.

Chứng minh tính chất a.

Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

Chứng minh nhận xét 3. Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.

Chứng minh nhận xét 2.

Tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong các trường hợp sau.

Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ (h.1.56).

Để ý rằng: điểm B nằm giữa hai điểm A và C khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC}$, $0 < t < 1$.

Chứng minh nhận xét 4.

$M’ = V_{\left(O,K\right)}\left(M\right) \iff M = V_{\left(O,1/k\right)}\left(M\text{'}\right)$.

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, E, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3).

a. Chứng minh rằng các điểm A’(2;3), B’(5;4) và C’(3;1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc $–{90}^o$.

b. Gọi tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc$–{90}^o$ và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$.