Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng:

a) (ABD) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD)

c) HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp(P) đi qua A và vuông góc với DB.

Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ), những mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) // (γ) thì (β) ⊥ (γ).

b) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) ⊥ (γ) thì (β) // (γ).

Có tồn tại một hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy hay không?

Cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Hình hộp là hình lăng trụ đứng

b) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng

c) Hình lăng trụ là hình hộp

Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD.

a) Hãy nêu tên các mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng SB, SC, SD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu trên (α) là điểm H. Với điểm M bất kì trên (α) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó.

Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;

Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Trong mp(SAB), kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM/SB = SN/SC .

Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAB), AM ⊥ (SBC)

b) SB ⊥ AN

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI/SB = SK/SD . Chứng minh:

a) BD ⊥ SC

Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) SO ⊥(α)

b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH).

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB và OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng

Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng a, b. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu a // (α), b ⊥(α) thì a ⊥b.

b) Nếu a // (α), b ⊥a thì b ⊥(α).

c) Nếu a // (α), b // (α) thì b // a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SB = SC = SD. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)

Cho hai tam giác đều ABC và ABC' trong không gian có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC' và C'A.

Chứng minh rằng:

a) AB ⊥ CC'

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với:

a) đường thẳng AB

b) đường thẳng AC

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB và B’C’

b) AC và B’C’

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a) Hãy phân tích các vecto $\overrightarrow{AC\text{'}} và \overrightarrow{BD}$ theo ba vecto $\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AD} , \overrightarrow{AA\text{'}}$

b) Tính $\cos \left(\overrightarrow{AC\text{'}} , \overrightarrow{BD}\right)$ và từ đó suy ra $\overrightarrow{AC\text{'}} và \overrightarrow{BD}$ vuông góc với nhau

Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vecto sau đây:

a) $\overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC}$

b) $\overrightarrow{CH} và \overrightarrow{AC}$

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng :

Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của AB và CD.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA', BB', CC', DD'lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ: