Tính số hạng đầu $u_1$ và công sai d của cấp số cộng $\left(u_n\right)$ $\left\{\begin{array}{l}{u}_4 = 10\\ u_7 = 19\end{array}\right.$

Dãy số $\left(u_n\right)$ sau đây có phải là cấp số cộng? $u_n = 2^n + 1$

Dãy số $\left(u_n\right)$ sau đây có phải là cấp số cộng? $u_n = 3n - 1$

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = 1 - 7n$

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số;

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số;

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = n^2 - 4n + 3$

a) Viết công thức truy hồi của dãy số;

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 5\\ u_{n+1} = u_n + 3n -2 với n\ge 1\end{array}\right.$

Tìm công thức tính $\left(u_n\right)$ theo n

Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? $u_n = \frac{1}{n^2 -6n + 11}$

Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? $u_n = 2n - n^2$

Cho tổng: $S_n = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + ... + \frac{1}{\left(4n-3\right)\left(4n+1\right)}$

a) Tính $S_1, S_2, S_3, S_4$;

Chứng minh rằng với mọi $n \in N^{\ast }$ ta có ${11}^{n + 1} + {12}^{2n-1}$ chia hết cho 133.

Chứng minh các đẳng thức sau ($với n \in N^{*}$) $1^3 + 2^3 + 3^3 +... +n^3 = \frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$

Chứng minh đẳng thức sau ($với n \in N^{\ast }$) $1^2 + 3^2 + 5^2 +...+ {\left(2n-1\right)}^2 = \frac{n\left(4n^2 - 1\right)}{3}$

Chứng minh đẳng thức sau ($với n \in N^{\ast }$) $2 +5 + 8 + ... + (3n - 1) = \frac{3\left(3n+1\right)}{2}$

Cho 5 đoạn thẳng với các độ dài 3, 5, 7, 9, 11 Chọn ngẫu nhiên ra ba đoạn thẳng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố A: "Ba đoạn thẳng chọn ra tạo thành một tam giác" và tính xác suất của A.

Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho

a) Cả hai quả đều đỏ;

b) Hai quả cùng màu;

Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép.

Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên 6 cái ghế, xếp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho

a) Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà;

b) Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.

Từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con, lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấy được con át thì dừng. Tính xác suất sao cho

a) Quá trình lấy dừng lại ở lần thứ hai;

b) Quá trình lấy dừng lại sau không quá hai lần.

Cho A và B là hai biến cố độc lập với P(A) = 0,6; P(B) = 0,3. Tính

a) P(A ∪ B);

b) $P(\overline{A} \cup \overline{B})$

Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối có 25% học sinh trượt Toán, 15% trượt Lí và 10% trượt Hoá. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất sao cho

a) Hai học sinh đó trượt Toán;

b) Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nàođó;

c) Hai học sinh đó không bị trượt môn nào;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn.

Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn màu đỏ. Lấy ngẫu nhiễn một quả. Kí hiệu A là biến cố: "Quả lấy ra màu đỏ", B là biến cố: "Quả lấy ra ghi số chẵn". Hỏi A và B có độc lập không?

Kết quả (b,c)của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai $x^2 + bx + c = 0$

Tính xác suất để

a) Phương trình vô nghiệm;

b) Phương trình có nghiệm kép;

c) Phương trình có nghiệm.

Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn:

a) Ghi số chẵn;

b) Màu đỏ;

c) Màu đỏ và ghi số chẵn;

d) Màu xanh hoặc ghi số lẻ.

Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:

a) Cả hai đều là nữ;

b) Không có nữ nào;

c) Ít nhất một người là nữ;

d) Có đúng một người là nữ.

Ba học sinh cùng thi thực hành môn Tin học. Kí hiệu $A_k$ là kết quả "học sinh thứ k thi đạt", k = 1, 2, 3:

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố:

A. "Có một học sinh thi đạt";

B. "Có hai học sinh thi đạt";

C. "Có một học sinh thi không đạt";

D. "Có ít nhất một học sinh thi đạt";

E. "Có không quá một học sinh thi đạt".