Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định trên khoảng (−∞;a). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right) = L và \underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right) = M$

thì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right).g\left(x\right) = L.M$

Chứng minh rằng hàm số y = sinx không có giới hạn khi x → +∞

Cho hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}{x}^2 nếu x\ge 0\\ x^2 - 1 nếu x<0\end{array}\right.$

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x → 0

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn $\underset{x\to 5}{\lim } \frac{x+3}{x-3}$

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $1; \frac{-1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{-1}{8};....; {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{n-1}; .....$

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xácđịnh bởi công thức truy hồi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 2\\ u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2} với n\ge 1\end{array}\right.$

Biết $\left|u_n - 2\right|\le \frac{1}{3^n}$ Có kết luận gì về giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$?

Cho hai dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$. Chứng minh rằng nếu lim $v_n = 0 và \left|u_n\right| \ge v_n$ với mọi n thì $lim u_n = 0$

Tính các giới hạn sau: $lim[4n + {\left(-2\right)}^n]$

Tính các giới hạn sau: $lim(-n^3 - 3n^2 - 2)$

Tính các giới hạn sau $lim(n^2 + 2n - 5)$

Tìm $lim v_n$ với $v_n = -n!$

Cho biết dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn, còn dãy số $\left(v_n\right)$ không có giới hạn hữu hạn. Dãy số $(u_n + v_n)$  có thể có giới hạn hữu hạn không?

Tìm m để phương trình $x^4 - (3m + 5)x^2 + {\left(m + 1\right)}^2 = 0$ có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Tính tổng: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + .... + \frac{2n-1}{2^n}$

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi $S_c$ là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và $S_l$ là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng: $q = \frac{S_c}{S_l}$

Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = \frac{1}{3}\\ u_{n+1} = \frac{\left(n+1\right)u_n}{3n} với n\ge 1\end{array}\right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Lập dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = \frac{u_n}{n}$ . Chứng minh dãy số $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân.

c) Tìm công thức tính $\left(u_n\right)$ theo n.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 1; u_2 = 2\\ u_{n+1} = 2u_n - u_{n-1} +1 với n\ge 2\end{array}\right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = u_n + 1 - u_n$. Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng;

Chứng minh các bất đẳng thức sau 3n − 1 > n(n + 2) với n ≥ 4

Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $B_n = 1 + 3 + 6 + 10 +... + \frac{n\left(n+1\right)}{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$