Chứng minh phương trình luôn $x^n + a_1{x}^{n-1} + a_2{x}^{n-2} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$ có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m $m(2\cos x -\sqrt{ 2}) = 2\sin 5x + 1$

Chứng minh rằng phương trình cos2x = sinx − 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6} ; \mathrm{\pi }\right)$

Tìm giá trị của tham số m để hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x} - 1}{x^2 -1} nếu x \ne 1\\ m^2 nếu x = 1\end{array}\right.$ liên tục tại x = 1

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng $g\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{1 - x}{{\left(x - 2\right)}^2} nếu x \ne 2\\ 3 nếu x = 2\end{array}\right.$

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 - 2}{x - \sqrt{2}} nếu x\ne \sqrt{2}\\ 2\sqrt{2} nếu x = \sqrt{2}\end{array}\right.$

Xét tính liên tục của các hàm số sau: $f\left(x\right) = \sqrt{x + 5} tại x = 4$

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to x_0}{\lim } \frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_0$

Đặt $g\left(x\right) = \frac{f\left(x\right) - f(x_0 )}{x - x_0} - L$  và biểu diễn f(x) qua g(x)

Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)

Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)

Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{\left(x-1\right)\left|x\right|}{x}$

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞)

Cho khoảng K, $x_0 \in K$ và hàm số y = f(x) xác định trên $K \backslash \left\{x_0\right\}$

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x ) = +\infty$ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc sao cho f(c) > 0

Tính giới hạn của các hàm số sau khi x → +∞ và khi x → -∞ $f\left(x\right) =\sqrt{x^2 - x} - \sqrt{x^2 + 1}$

Tính giới hạn của các hàm số sau khi x → +∞ và khi x → -∞ $f\left(x\right) = \frac{\sqrt{x^2 - 3x}}{x+2}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim } \frac{\left(x^2 - 1\right){\left(1 - 2x\right)}^5}{x^7 + x +3}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 0}{\lim } \frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{x^2 + 1} - 1\right)$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 1}{\lim } \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x + 3} - 2}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 5}{\lim } \frac{x - 5}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to + \infty }{\lim } \frac{x - 5}{\sqrt{x} + \sqrt{5}}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -3}{\lim } \frac{x + 3}{x^2 + 2x - 3}$

Tìm giới hạn của các hàm số sau $\underset{x\to 2^{-}}{\lim } \frac{x - 15}{x + 2}$

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định trên khoảng (−∞;a). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right) = L và \underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right) = M$

thì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right).g\left(x\right) = L.M$

Chứng minh rằng hàm số y = sinx không có giới hạn khi x → +∞

Cho hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}{x}^2 nếu x\ge 0\\ x^2 - 1 nếu x<0\end{array}\right.$

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x → 0

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn $\underset{x\to 5}{\lim } \frac{x+3}{x-3}$

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.