Tính đạo hàm của các hàm số sau: $y = \frac{\cos x}{2{\sin }^{2}x}$

Tính đạo hàm của các hàm số sau: $y = \frac{\left(2 - x^2\right)\left(3 - x^3\right)}{{\left(1 - x\right)}^2}$

Tính đạo hàm của các hàm số sau: $y = \frac{1 + x - x^2}{1 - x + x^2}$

Tính các giới hạn $\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{3}}{\lim } \frac{2{\sin }^{2}x + \sin x - 1}{2{\sin }^{2}x - 3\sin x + 1}$

Tính các giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim } \left(1 - x\right)\tan \frac{\mathrm{\pi x}}{2}$

Tính các giới hạn sau $\underset{x\to 1}{\lim } \frac{\sqrt{x + 8} - \sqrt{8x + 1}}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{7x - 3}}$

Hãy tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim } n^2\left(n - \sqrt{n^2 + 1}\right)$

Hãy tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim } \sqrt[3]{1 + n^3 } - n$

Hãy tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim } \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

Tìm số hạng thứ nhất $a_1$ và công bội q của một cấp số nhân $\left(a_n\right)$, biết rằng

$a_4 - a_2 = -1\frac{13}{32}$ và $a_6 - a_4 = -\frac{45}{512}$

Viết ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết rằng tổng n số hạng đầu tiên của cấp số này là:$S_n = 4n^2 - 3n$

Tìm cấp số cộng $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$, biết rằng

$a_1 + a_3 + a_5 = -12$ và $a_1{a}_3{a}_5 = 80$

Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sau cho 3 số trên nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác xuất để B mở được cửa phòng học đó.

Một tổ có 10 học sinh trong đó có An, Bình, Chi, Dung và Hương. Có bao nhiêu các xếp 10 bạn đó vào 10 ghế sắp thành hàng ngang sao cho An, Bình ngồi cạnh nhau và Chi, Dung, Hương cũng ngồi cạnh nhau?

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số, trong đó có đúng hai chữ số 2?

Giải các phương trình $\frac{\sin 2t + 2{\cos }^{2}t - 1}{\cos t - \cos 3t + \sin 3t - \sin t} = \cos t$

Giải các phương trình ${\tan }^2\frac{x}{2} + {\sin }^2\frac{x}{2}.\tan \frac{x}{2} +{\cos }^2\frac{x}{2}.cot\frac{x}{2} + co{t}^2\frac{x}{2} + \sin x = 4$

Giải các phương trình $\tan \left({120}^o + 3x\right) - \tan \left({140}^o - x\right) = 2\sin \left({80}^o + 2x\right)$

Giải các phương trình $\cos 4x.\cos \left(\mathrm{\pi } + 2\mathrm{x}\right) - \sin 2x\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2} - 4x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin 4x$

Giải các phương trình ${\cos }^{2}x + {\cos }^{2}2x - {\cos }^{2}3x - {\cos }^{2}4x = 0$

Giải các phương trình $\sin 2z + \cos 2z = \sqrt{2}\sin 3z$