Bài toán cổ Hy Lạp

- Thưa Py-ta-go lỗi lạc, trường của ngài có bao nhiêu môn đệ?

Nhà hiền triết trả lời:

- Hiện nay, một nửa đang học toán, một phần tư đang học nhạc, một phần bảy đang suy nghĩ. Ngoài ra, còn có ba phụ nữ.

Hỏi trường đại học của Py-ta-go có bao nhiêu người?

Một ô tô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ nghỉ ở Thanh Hóa, ô tô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30km/h. Tổng thời gian cả đi và về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ Tại ở Thanh Hóa). Tính quãng đường Hà Nội - Thanh Hóa.

Thùng thứ nhất chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo. Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số gói kẹo nhiều gấp ba lần số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất. Hỏi có bao nhiêu gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất, biết rằng số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp hai lần số gói kẹo trong thùng thứ hai.

Hai số nguyên dương có tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng 3/5. Nếu lấy số thứ nhất chia cho 9, số thứ hai chia cho 6 thì thương của phép chia số thứ nhất cho 9 bé hơn thương của phép chia số thứ hai cho 6 là 3 đơn vị. Tìm hai số đó biết rằng các phép chia nói trên đều là phép chia hết.

Hiệu của hai số bằng 18, tỉ số giữa chúng bằng 5/8 . Tìm hai số đó biết rằng: Hai số nêu trong bài là hai số tùy ý.

Hiệu của hai số bằng 18, tỉ số giữa chúng bằng 5/8 . Tìm hai số đó biết rằng: Hai số nêu trong bài là hai số dương.

Hiệu của hai số bằng 22, số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó, biết rằng: Hai số nêu trong bài là hai số tùy ý.

Hiệu của hai số bằng 22, số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó, biết rằng: Hai số nêu trong bài là hai số dương.

Tổng, hai số bằng 90, số này gấp đôi số kia Tìm hai số đó.

Tổng hai số bằng 80, hiệu của chúng bằng 14. Tìm hai số đó.

Giải các phương trình: $\frac{{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}}{1+{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}}=\frac{x-1}{2\left(x+1\right)}$

Giải các phương trình: $\frac{2}{x+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}}}}=\frac{6}{3x-1}$

Cho phương trình ẩn x: $\frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a\left(3a+1\right)}{a^2-x^2}$

Tìm giá trị của a sao cho phương trình nhận x = 1/2 là nghiệm.

Cho phương trình ẩn x: $\frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a\left(3a+1\right)}{a^2-x^2}$

Giải phương trình khi a = 0

Cho phương trình ẩn x: $\frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a\left(3a+1\right)}{a^2-x^2}$

Giải phương trình khi a = 1

Cho phương trình ẩn x: $\frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a\left(3a+1\right)}{a^2-x^2}$

Giải phương trình khi a = - 3

Giải các phương trình sau: $\frac{13}{\left(x-3\right)\left(2x+7\right)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{x^2-9}$

Giải các phương trình sau: $\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4}{x^2+x+1}$

Giải các phương trình sau: $\frac{x-3}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}=-1$

Giải các phương trình sau: $\frac{2x+1}{x-1}=\frac{5\left(x-1\right)}{x+1}$

Giải các phương trình sau: $\frac{x^3-{\left(x-1\right)}^3}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}=\frac{7x-1}{4x+3}-\frac{x}{x-5}$

Giải các phương trình sau: $\frac{2}{x-1}+\frac{2x+3}{x^2+x+1}=\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^3-1}$

Giải các phương trình sau: $1+\frac{x}{3-x}=\frac{5x}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{2}{x+2}$

Giải các phương trình sau: $\frac{1-6x}{x-2}+\frac{9x+4}{x+2}=\frac{x\left(3x-2\right)+1}{x^2-4}$

Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau: $\frac{y+5}{y-1}-\frac{y+1}{y-3} và \frac{-8}{\left(y-1\right)\left(y-3\right)}$

Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau: $\frac{6x-1}{3x+2} và \frac{2x+5}{x-3}$

Tìm x sao cho biểu thức $\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}$ bằng 2.

Giải các phương trình sau: $\frac{5-2x}{3}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{3x-1}=\frac{\left(x+2\right)\left(1-3x\right)}{9x-3}$

Giải các phương trình sau: $\frac{5x-2}{2-2x}+\frac{2x-1}{2}=1-\frac{x^2+x-3}{1-x}$

Giải các phương trình sau: $\frac{{\left(x+2\right)}^2}{2x-3}-1=\frac{x^2+10}{2x-3}$

Giải các phương trình sau: $\frac{1-x}{x+1}+3=\frac{2x+3}{x+1}$

Các khẳng định sau đây đúng hay sai:

a. Phương trình $\frac{4x-8+\left(4-2x\right)}{x^2+1}=0$có nghiệm x = 2.

b. Phương trình $\frac{\left(x+2\right)\left(2x-1\right)-x-2}{x^2-x+1}=0$ có tập nghiệm S = {-2; 1}

c. Phương trình $\frac{x^2+2x+1}{x+1}=0$ có nghiệm x = - 1

d. Phương trình $\frac{x^2\left(x-3\right)}{x}=0$ có tập nghiệm S = {0; 3}

Khi giải phương trình $\frac{2-3x}{-2x-3}=\frac{3x+2}{2x+1}$, bạn Hà làm như sau:

Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có:

$\frac{2-3x}{-2x-3}=\frac{3x+2}{2x+1}$

⇔ (2 – 3x)(2x + 1) = (3x + 2)(- 2x – 3)

⇔ -6$x^2$ + x + 2 = -6$x^2$ – 13x – 6

⇔ 14x = - 8

⇔ x = - 4/7

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4/7 .

Em hãy nhận xét về bài làm của bạn Hà.

Em hãy chọn khẳng định đúng trong hai khẳng định sau đây: 

a. Hai phương trình tương đương với nhau thì phải có cùng điều kiện xác định.

b.Hai phương trình có cùng điều kiện xác định có thể không tương đương với nhau.

Cho biểu thức hai biến: f(x; y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1). Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x;y) = 0; nhận y = 2 làm nghiệm.

Cho biểu thức hai biến: f(x; y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1). Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f(x;y) = 0, nhận x = -3 làm nghiệm.

Biết x = - 2 là một trong các nghiệm của phương trình: $x^3+a{x}^2-4x-4=0$. Với a tìm được ở câu a, tìm các nghiêm còn lại của phương trình bằng cách đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.

Cho phương trình (3x + 2k – 5)(x – 3k + 1) = 0, trong đó k là một số. Với mỗi giá trị của k tìm được trong câu a, hãy giải phương trình đã cho.