Diện tích và chu vi của một hình chữ nhật ABCD (AB > AD) theo thứ tự là $2a^2$ và $6a$. Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB một vòng, ta được một hình trụ. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ này.

Lăng trị ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng (P) chứa BC vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng $\frac{a\sqrt[2]{3}}{8}$ . Thể tích khối  lăng trụ ABCA’B’C' bằng

A. $\frac{a\sqrt[3]{2}}{12}$

B. $\frac{a\sqrt[3]{6}}{12}$

C. $\frac{a\sqrt[3]{6}}{3}$

D. $\frac{a\sqrt[3]{3}}{12}$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc ${30}^{\circ }$. Biết hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC.

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có BC = $\sqrt{3}a$, SA = $\sqrt{2}a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa SB và AD bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 2AD = 2CD, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc giữa SC và đáy bằng ${60}^{\circ }$. Biết khoảng cách từ B đến (SCD) là  $\frac{a\sqrt{42}}{7}$, khi đó tỉ số $\frac{V_{S.ABCD}}{a^3}$ bằng

Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là một hìnht tròn tâm O bán kính R, chiều cao của hình nón bằng 2R. Gọi I là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho IO = 2R. Giả sử A là điểm trên đường tròn (O) sao cho OA $\perp$ OI. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Cho hình lăng trụ tam giác đều  ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.

Cho hình thanh cân ABCD, AD//BC có AB = BC = CD = a; AD = 2a. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi xoay hình thang theo trục AC là

A. $\frac{\mathrm{\pi a}\sqrt[3]{2}}{3}$.

B. $\frac{\mathrm{\pi a}\sqrt[3]{3}}{3}$.

C. $\frac{\mathrm{\pi a}\sqrt[3]{6}}{3}$.

D. $\frac{\mathrm{\pi a}\sqrt[3]{3}}{9}$.

Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN $\perp$PQ. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để thu được một khối đá có hình tứ diện MNPQ. Biết rằng MN = 60 cm và thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng $30 d{m}^3$. Hãy tính thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân)

Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. Tam giác ABC cân tại A, có $AB=2a, ACD={60}^o$. M là trung điểm AB, $N\in BC$ sao cho . Khi đó khoảng cách từ P đến mặt phẳng   (BCD) bằng   (với P là giao điểm MN và AC).

A. $\frac{2a\sqrt{21}}{7}$.

B. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$.

C. $\frac{a\sqrt{7}}{7}$

D. $\frac{2a\sqrt{7}}{7}$

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB = b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy điểm M với AM = x (0 < x< a). Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua M song song với AC, SB và cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Xác định x để diện tích thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất.

Một hình trụ có chiều cao h, một thiết diện song song và cách trục một khoảng bằng d chắn trên đáy một dây cung sao cho cung nhỏ có số đo bằng ${60}^o$. Thể tích của khối trụ là

A. $\frac{2{\mathrm{\pi d}}^2\mathrm{h}}{3}$.

B.$\frac{3{\mathrm{\pi d}}^2\mathrm{h}}{2}$.

C.$\frac{{\mathrm{\pi d}}^2\mathrm{h}}{3}$.

D. $\frac{4{\mathrm{\pi d}}^2\mathrm{h}}{3}$

Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. ${60}^o$

B. ${30}^o$

C. ${90}^o$

D. ${45}^o$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MC = 2MS. Biết  AB = 3,  BC = $3\sqrt{3}$. Tính thể tích của khối chóp

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=\frac{1}{2}AD=2a$. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ACD

A. $\frac{4a\sqrt[3]{3}}{3}$.

B. $\frac{a\sqrt[3]{3}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt[3]{2}}{6}$.

D. $\frac{a\sqrt[3]{3}}{6}$.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB} và \overrightarrow{EG}$? 

A. ${90}^o$

B. ${60}^o$

C. ${45}^o$

D. ${120}^o$

Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho $AM=\frac{a}{2}$, Cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH vuông gốc với mặt phẳng  (ABCD) và SH = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC

A. $\frac{a}{3}$

B. $\frac{2a}{5}$

C. $\frac{2a}{3}$

D. $\frac{a}{2}$

Cho hình chóp S.ABC với AB = SA = a, tất cả các cạnh còn lại bằng b. Độ dài EF (E, F là trung điểm của AB, SC) theo a, b

A. $\frac{b\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{a^2+4b^2}}{2}$

C. $\frac{b\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{a^2+3b^2}}{4}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tự diện CMNP.

Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo OA = OB. Khi đó tỉ số  tổng thể tích của hai hình nón $\left(V_n\right)$  và thể tích hình trụ $\left(V_t\right)$ bằng 

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{2}{5}$

D. $\frac{1}{4}$

Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông (ABCD) cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc . Thể tích của hình trụ bằng

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A,  AB = a và  AC = $a\sqrt{2}$. Biết rằng ((ABC),(AB'C')) = ${60}^{\circ }$ và hình chiếu A lên  (A'B'C') là trung điểm H của A'B'. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB'C'.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a\sqrt{3}$, BD = 3a, hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A'B'C'D') là trung điểm của A'C'. biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD'C') bằng $\frac{\sqrt{21}}{7}$. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', đáy ABC có  AC = $a\sqrt{3}$, BC = 3a, $\widehat{ACB}= {30}^{\circ }$. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc ${60}^{\circ }$ và mặt phẳng (A'BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh  BC sao cho  BC = 3BH và mặt phẳng (A'AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ  (ABC.A'B'C')bằng:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Nhận định nào sau đây đúng

A. tam giác SCD vuông

B. tam giác SCD cân

C.tam giác SCD đều

D. tam giác SCD vuông cân

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa AB đi qua điểm C' nằm trên cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số $\frac{SC\text{'}}{SC}$

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

D. $\frac{4}{5}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Các trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều cạnh  a là các đỉnh của khối đa diện đều. Tính thể tích V của khối đa diện đều đó.

Cho hình trụ T có trục OO' Trên hai đường tròn đáy (O) và (O') lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB = a và đường thẳng AB tạo với đáy của hình trụ góc ${60}^{\circ }$. Gọi hình chiếu của B trên mặt phẳng đáy chứa đường tròn (O) là B'. Biết rằng  $\widehat{AOB}= {120}^{\circ }$. Tính khoảng cách  d giữa hai đường thẳng AB và O

Hình tứ diện đều có số mặt phẳng đối xứng là

A. 3.

B. 6.

C. 4.  

D. 0.

Gọi l và R lần lượt là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện. Hỏi rằng trong số các tứ diện, tứ diện nào thì tỉ số $\frac{l}{R}$đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó? 

Cho mặt nón tròn xoay đỉnh O có góc ở đỉnh bằng ${60}^{\circ }$. Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục của mặt nón tại H, biết  OH = a. Khi đó, (P) cắt mặt nón theo đường tròn có bán kính bằng:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh  a, (SAB) $\perp$(ABCD). H là trung điểm của AB, SH = HC, SA = AB. Gọi $\alpha$là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của $\tan \alpha$ là: 

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30}^{\circ }$. Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ($A_1{B}_1{C}_1$) thuộc đường thẳng $B_1{C}_1$. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A_1.ABC$.

Cho lăng trụ tam giác có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30}^{\circ }$. Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ($A_1{B}_1{C}_1$) thuộc đường thẳng $B_1{C}_1$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}_1$ và $B_1{C}_1$ theo a là:

Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $AB=AD=2a,A{A}^{\text{'}}=4a$. Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA’, BB’,CC, DD’. Biết hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ nội tiếp khối trụ   (T) và lăng trụ ABCD.MNPQ nội tiếp mặt cầu (C). Tỉ số thể tích $\frac{V_{\left(T\right)}}{V_{\left(C\right)}}$ giữa khối cầu và khối trụ là

A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

C. $\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ 

D. $\frac{1}{\sqrt[2]{3}}$ 

Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$  có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm $A_1$ cách đều 3 điểm  A, B, C. Cạnh bên $A{A}_1$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$. Thể tích khối trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ bằng $2\sqrt{3}{a}^3$. Giá trị của $\alpha$ là.

A. ${30}^o$

B. ${45}^o$

C. ${60}^o$ 

D. Đáp án khác

Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có cạnh bằng a, một mặt phẳng $\alpha$ cắt các cạnh $AA\text{'},BB\text{'},CC\text{'},DD\text{'}$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ . Biết $AM=\frac{1}{3}a,CP=\frac{2}{5}a$ . Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là

A. $\frac{11}{30}{a}^2$

B. $\frac{a^3}{3}$

C. $\frac{2a^3}{3}$

D. $\frac{11}{15}{a}^3$ 

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh $2\sqrt{3}$ với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung $\stackrel{⏜}{AB}$ của đường tròn đáy sao cho $\stackrel{⏜}{ABM}={60}^0$. Thể tích của khối tứ diện ACDM là: