Cho hình chóp S.ABC có AB=a, AC=2a, góc $\widehat{BAC}={60}^0$, cạnh $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

Biết rằng $\int e^{2x}\cos 3xdx = e^{2x}(a\cos 3x + b\sin 3x)+c$, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC= a$\sqrt{3}$, SA = a và SA vuông góc với đáy ABCD. Tính $\sin \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC).

A. $\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{8}$

B. $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$

D. $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left(1;1;1\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C thỏa mãn $OA=2OB$. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC.

Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{1}{{\sin }^{2}x}$. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua $M\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3};0\right)$ thì F   (x) là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a. Khoảng cách giữa SC và AB bằng

A. $\frac{a\sqrt{3}}{15}$

B. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2a\sqrt{3}}{15}$

D. $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}$ và x=4 quanh trục Ox. Đường thẳng x=a  cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ tại M    (hình vẽ bên). Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng $V = V_1$. Khi đó

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB=AC=a, biết tam giác cân SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc bằng ${45}^0$. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA'$=\frac{3a}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là trung điểm BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

A. $V=a^{3 }$

B. $V=\frac{2a^{3 }}{3}$

C. $V=\frac{3a^{3 }}{4\sqrt{2}}$

D. $V=a^3\sqrt{\frac{3}{2}}$

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp A.A'B'C'D' và S.ABCD.

A. $\frac{1}{16}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{1}{2}$

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, cạnh $AB=AD=a$ và $DC=2a$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi hình thang ABCD quay quanh trục AD là:

Biết rằng ${\int }_0^{1}x\cos \left(2x\right)dx = \frac{1}{4}(a\sin 2 + b\cos 2 + c)$, với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

A. $\frac{a}{4}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a}{2}$

Một hình trụ có diện tích toàn phần là $10\mathrm{\pi }{a}^2$ và bán kính đáy bằng a. Chiều cao của hình trụ đó là:

Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích $\frac{V_{MIJK}}{V_{MNPQ}}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{8}$

Cho $∆ABC$ có cạnh BC=a, góc $\widehat{BAC}={120}^0$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$ là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a$\sqrt{2}$, cạnh bên bằng 2a. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SCD). Tính cos$\alpha$ 

A.$\frac{\sqrt{21}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{21}}{14}$

C. $\frac{\sqrt{21}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{21}}{7}$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cai AH tạo nên hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_1^e\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx=e$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và có độ dài bằng a. Tính thể tích khối tứ diện S.BCD:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SC và BD bằng :

A.$\frac{2a}{3}$

B.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{4a}{3}$

D. $\frac{3a}{2}$

Cho hình chóp đều S ABCD. có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 3a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng

A. $\frac{a\sqrt{14}}{3}$

B. $\frac{a\sqrt{14}}{4}$

C. $a\sqrt{14}$

D. $\frac{a\sqrt{14}}{2}$

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh bên SA vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm cạnh AC , H là hình chiếu của I trên SC . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (SBC)$\perp$(IHB) 

B.(SAC)$\perp$(SAB)

C.(SAC)$\perp$(SAB)

D.(SBC)$\perp$(SBC)

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-1)>0<f(x) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x); y=0; x=-1 và x=1Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho a là một số thực khác 0, ký hiệu $b = {\int }_{-a}^a\frac{e^x}{x+2a}dx$ Tính $I = {\int }_{-b}^a\frac{dx}{\left(3a-x\right)e^x}$ theo a và b

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đưởng $y = x^2$,y=0; x=0; x=4. Đường thẳng x=a chia hình (H) thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm a để $S_2 = 4S_1$

Tìm nguyên hàm $I = \int \frac{x\ln (x^2+1)}{x^2+1}dx$

Tính tích phân $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\cos }^{2}xdx$

Cho tích phân $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}(x-1)\sin 2xdx$ Tìm đẳng thức đúng

Có bao nhiêu số $a\in (0;20\mathrm{\pi })$ sao cho ${\int }_0^a{\sin }^{5}x\sin 2xdx = \frac{2}{7}$

 A. 20.

B. 19.

C. 9.

D. 10.

Cho hàm số $y={\log }_{a}x, y={\log }_{b}x$$, y={\log }_{c}x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.b>c>a

B.c>a>b

C.a>b>c

D.a>c>b

Hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Đường thẳng y=3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ $x_1$, $x_2$. Biết rằng $x_2=2x_1$, giá trị của $\frac{a}{b}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. $\sqrt{3}$

C. 2

D. $\sqrt[3]{2}$

Cho a,b,c dương và khác 1. Các hàm số $y={\log }_{a}x, y={\log }_{b}x, y={\log }_{c}x$ có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a>c>b.

B.a>b>c

C.c>b>a

D.b>c>a

Hàm số $y=lo{g}_3(x^2-2x)$ nghịch biến trên khoảng nào

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?

Cho hàm số $y={\log }_{a}x$ $(0<a \ne 1)$ có đồ thị là hình bên dưới. Giá trị của a bằng

Cho $a>1$, chọn khẳng định đúng

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến?

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây