Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng a. Tính diện tích xung quanh S của khối trụ đó.

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Thể tích khối tứ diện AB’C’D’ bằng

Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12cm. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là:

Cho hình chóp S.BCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD, BC; $AD=3BC=3a; AB=a; SA=a\sqrt{3}$. Điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AI}$. M là trung điểm SD, H là giao điểm của AM và SI . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SC Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD).

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 60$°$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB’ bằng

Cho khối nón có bán kính đáy$r=\sqrt{3}$ và chiều cao h = 4. Tính thể tích V của khối nón đã cho

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng ABC và AB = 2, AC = 4, $SA=\sqrt{3}$. Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, AC’ tạo với mặt bên (BCC’B’) một góc 30$°$. Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng

Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của hình trụ, AB = 4a, AC = 5a. Thể tích khối trụ là:

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2;-1;3) trên mặt phẳng (P):x-2y+z-1=0 có tọa độ là

A. (1;-2;1)

B. (1;1;2)

C. (3;2;0)

D. (4;-2;-3)

Thể tích của khối nón có chiều cao h = 6 và bán kính đáy R = 4 bằng

Một khối gỗ hình lập phương có thể tích $V_1$. Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó thành một khối trụ có thể tích là $V_2$ . Tính tỉ số lớn nhất $k=\frac{V_2}{V_1}$ ?

Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Khối trụ tròn xoay có đường kính là 2a, chiều cao là h=2a có thể tích là:

Cho một khối lăng trụ có thể tích là $\sqrt{3}{\alpha }^3$, đáy là tam giác đều cạnh $\alpha$. Chiều cao h của khối lăng trụ bằng

A. h=4$\alpha$

B. h=3$\alpha$

C. h=2$\alpha$

D. 12$\alpha$

Một khối pha lê gồm một hình cầu $\left(H_1\right)$ bán kính R và một hình nón $\left(H_2\right)$ có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là r, l thỏa mãn $r=\frac{1}{2}l và l=\frac{3}{2}R$  xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu $\left(H_1\right)$ và diện tích toàn phần của hình nón $\left(H_2\right)$ là . Tính diện tích của khối cầu .

Biết $m=m_0$ là giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $4^x-(4m+1).2^x+2\left(4m-1\right)=0$ có hai nghiệm thực $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left(x_1+1\right).\left(x_2+1\right)=6$. Khi đó $m_0$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB= 6, AC=8 và M là trung điểm của cạnh AC. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quanh cạnh AB là:

Phương trình $lo{g}_2(5-2^x)=2-x$ có hai nghiệm  $x_1, x_2$ $\left(x_1<x_2\right)$. Tổng các giá trị nguyên trong khoảng $\left(x_1;x_2\right)$ bằng

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và các mặt bên của hình chóp đều bằng a (a thay đổi). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích của S.ABCD 

Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là

Trong không gian, cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau và SA=a, SB=b, SC=c. Mặt cầu đi qua S, A, B, C có bán kính bằng;

Biết rằng phương trình $4^x-m.2^{x+1}+2m=0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thảo mãn $x_1+x_2=3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Công thức tính diện tích xung quanh $S_{xq}$của hình nón có đường sinh l, bán kính đáy r là:

Biết phương trình ${\log }_3^{2}x-\left(a+2\right){\log }_3+2a=0$ có hai nghiệm phân biệt, với a là tham số. Khi đó tổng các nghiệm của phương trình bằng:

Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD  là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABCD)  và SA=2$\alpha$ Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) 

Số nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(11-3^x\right)={10}^{\log \left(2-x\right)}$ là

A. 1

B. 3

C. 0

D. 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lập phương S.ABCD có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D bằng

Tích các nghiệm của phương trình ${\log }_5\left(5^x-4\right)=1-x$ là

A. -1

B. -5

C. 1

D. 5

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(10.{\left(\sqrt{2019}\right)}^x-{2019}^x\right)=4$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA\perp \left(ABCD\right)$,$SA=\alpha \sqrt{6}$ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy, $SA=\alpha \sqrt{6}$ Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là

A. 45$°$

B. 90$°$

C. 60$°$

D. 30$°$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA $\perp$(ABC), SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).

Cho tứ diện S.ABC, trên cạnh SA và SB lấy điểm M và N sao cho thỏa tỉ lệ $\frac{SM}{AM}=\frac{1}{2}$;$\frac{SN}{NB}=2$. Mặt phẳng (P) đi qua MN và song song với SC chia tứ diện thành hai khối. Một khối chứa điểm S và có thể tích là V₁, khối còn lại có thể tích V₂. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ nhận giá trị thuộc khoảng nào dưới đây.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $lo{g}_3(7-3^x)=2-x$ bằng

A.1

B.7

C. 2

D. 3

Tích các nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{\sqrt{5}}}\left(6^{x+1}-3.6^x\right)=-2$ bằng

A. 5

B. 0

C. 1

D. 6

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC  có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên tạo với đáy góc  ${60}^0$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC  ?

A. $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. $a^3\sqrt{3}$

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A với. AB=a, AC=2a$\sqrt{3}$cạnh bên AA' = 2a. Thể tích khối lăng trụ bằng bao nhiêu ?

A. $a^3$

B.$\sqrt{3}{a}^3$

C. $\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}$ 

D. $2\sqrt{3}{a}^3$