Cho ${\int }_0^1\left(\frac{3}{x+3}-\frac{10}{{(x+3)}^2}\right)dx = 3\ln \frac{a}{b}-\frac{5}{6}$, trong đó a, b là 2 số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ab = – 5

B. ab = 12

C. ab = 6

D. ab = 5/4

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=AA’=a, AC=2a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD') là

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{a\sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc $\widehat{BAC}={60}^0$. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 45⁰. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=2a, AA'=a$\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

A. 3$a^3$

B. $a^3$

C. $\frac{a^3}{4}$

D. $\frac{3a^3}{4}$

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,$\widehat{ACB}={45}^o$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy một góc ${60}^o$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{9}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

C. $V=\frac{a^3}{4\sqrt{3}}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{18}$

Nếu tăng bán kính đáy của một hình nón lên 4 lần và giảm chiều cao của hình nón đó đi 8 lần, thì thể tích khối nón tăng hay giảm bao nhiêu lần?

A. tăng 2 lần

B. tăng 16 lần

C. giảm 16 lần

D. giảm 2 lần

Viết công thức tính tích phân từng phần

Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng 80π. Thể tích của khối trụ là:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng

A. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{7}}{4}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Cho tứ diện OABC có $OA=a, OB=2a, OC=3a$ đôi một vuông góc với nhau tại O. Lấy M là trung điểm của cạnh AC; N nằm trên cạnh CB sao cho $CN=\frac{2}{3}CB$. Tính theo a thể tích khối chóp OAMNB.

Tính $I = {\int }_0^1\left(C_{2018}^0-C_{2018}^{1}x+C_{2018}^2{x}^2-...+C_{2018}^{2018}{x}^{2018}\right)dx$

Cho khối trụ đứng $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng $\left(A\text{'}BC\right)$ tạo với đáy một góc 30° và tam giác  có diện tích bằng $8a^2$. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Cho hình nón (N) có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối nón (N) theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, mặt bên $\left(SAB\right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối lăng trụ là:

$\int \frac{3x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx$ bằng:

Cho hình chóp S.ABC có AB=a, AC=2a, góc $\widehat{BAC}={60}^0$, cạnh $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

Biết rằng $\int e^{2x}\cos 3xdx = e^{2x}(a\cos 3x + b\sin 3x)+c$, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC= a$\sqrt{3}$, SA = a và SA vuông góc với đáy ABCD. Tính $\sin \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC).

A. $\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{8}$

B. $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$

D. $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left(1;1;1\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C thỏa mãn $OA=2OB$. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC.

Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{1}{{\sin }^{2}x}$. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua $M\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3};0\right)$ thì F   (x) là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a. Khoảng cách giữa SC và AB bằng

A. $\frac{a\sqrt{3}}{15}$

B. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2a\sqrt{3}}{15}$

D. $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}$ và x=4 quanh trục Ox. Đường thẳng x=a  cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ tại M    (hình vẽ bên). Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng $V = V_1$. Khi đó

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB=AC=a, biết tam giác cân SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc bằng ${45}^0$. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA'$=\frac{3a}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là trung điểm BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

A. $V=a^{3 }$

B. $V=\frac{2a^{3 }}{3}$

C. $V=\frac{3a^{3 }}{4\sqrt{2}}$

D. $V=a^3\sqrt{\frac{3}{2}}$

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp A.A'B'C'D' và S.ABCD.

A. $\frac{1}{16}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{1}{2}$

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, cạnh $AB=AD=a$ và $DC=2a$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi hình thang ABCD quay quanh trục AD là:

Biết rằng ${\int }_0^{1}x\cos \left(2x\right)dx = \frac{1}{4}(a\sin 2 + b\cos 2 + c)$, với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

A. $\frac{a}{4}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a}{2}$

Một hình trụ có diện tích toàn phần là $10\mathrm{\pi }{a}^2$ và bán kính đáy bằng a. Chiều cao của hình trụ đó là:

Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích $\frac{V_{MIJK}}{V_{MNPQ}}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{8}$

Cho $∆ABC$ có cạnh BC=a, góc $\widehat{BAC}={120}^0$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$ là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a$\sqrt{2}$, cạnh bên bằng 2a. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SCD). Tính cos$\alpha$ 

A.$\frac{\sqrt{21}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{21}}{14}$

C. $\frac{\sqrt{21}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{21}}{7}$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cai AH tạo nên hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_1^e\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx=e$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và có độ dài bằng a. Tính thể tích khối tứ diện S.BCD:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SC và BD bằng :

A.$\frac{2a}{3}$

B.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{4a}{3}$

D. $\frac{3a}{2}$

Cho hình chóp đều S ABCD. có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 3a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng

A. $\frac{a\sqrt{14}}{3}$

B. $\frac{a\sqrt{14}}{4}$

C. $a\sqrt{14}$

D. $\frac{a\sqrt{14}}{2}$

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh bên SA vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm cạnh AC , H là hình chiếu của I trên SC . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (SBC)$\perp$(IHB) 

B.(SAC)$\perp$(SAB)

C.(SAC)$\perp$(SAB)

D.(SBC)$\perp$(SBC)