Cho hình tròn tâm S, bán kính R = 2 . Cắt đi $\frac{1}{4}$ hình tròn rồi dán lại để tạo ra mặt xung quanh của hình nón như hình vẽ. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Điểm M thuộc tia DD' thỏa mãn $DM=a\sqrt{6}$. Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của $f\left(x\right) = \frac{\ln (x+3)}{x^2}$ sao cho F(-2)+F(1)=0. Giá trị của F(-1)+F(2) bằng

B. 0

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V, gọi M, N là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow{D\text{'}M}=2\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{C\text{'}N}=2\overrightarrow{NC}$, đường thẳng AM cắt đường thẳng A'D' tại P, đường thẳng BN cắt đường thẳng B'C' tại Q. Thể tích của khối PQNMD'C' bằng

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc $\widehat{BAC}={30}^0,SA=a$ và $BA=BC=a$. Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC. Khoảng cách từ B đến mặt (SCD) bằng

Cho ${\log }_a c = x > 0$ và ${\log }_b c = y > 0$. Khi đó giá trị của ${\log }_{ab} c$là

Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu bán kính R và có đường cao bằng bán kính mặt cầu. Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (O; 5). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA = AB = 8. Tính khoảng cách từ O đến (SAB).

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log₃x.log₉x.log₂₇x.log₈₁x $=\frac{2}{3}$ bằng

Phương trình $\ln \left(x-\frac{1}{2}\right).\ln \left(x+\frac{1}{2}\right).\ln \left(x+\frac{1}{4}\right).\ln \left(x+\frac{1}{8}\right)$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60º . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\log \left(mx\right) = 2\log \left(x+1\right)$ có nghiệm là 

Tập nghiệm của bất phương trình 2^2x < 2^x+6 là:

Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_2 \left(3.2^x - 1\right) = 2x + 1$ bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. -1

D. 0

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy là:

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Số nguyên tố dạng M_p = 2^P - 1, trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mecxen. Số M_6972593 được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?

A. 2098960 chữ số.

B. 2098961 chữ số

C. 6972593 chữ số

D. 6972592 chữ số

Số nghiệm của phương trình

 $(x^2 - x -2).({\log }_{2}x - 1) = 0$

A. 1                       

B. 2    

C. 0 

D. 3

Với $a = {\log }_2 5$, $b = {\log }_3 5$ giá trị của ${\log }_6 5$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a*. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SBD\hspace{0.17em}= {60}^0$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO.

A. $\frac{a\sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{5}$

D. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

Biết phương trình $9^x - 2^{x+\frac{1}{2}} = 2^{x+\frac{3}{2}} - 3^{2x-1}$ có nghiệm là a. Tính giá trị biểu thức $P = a + \frac{1}{2}{\log }_{\frac{9}{2}}2$

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_2}^2 x - 8{\log }_2 \sqrt{x} + 3 <0$

A. 5

B. 1

C. 7

D. 4

Tìm tập xác định của hàm số $y={(x^2-3x+2)}^{\frac{1}{2}}$

Biết rằng phương trình $5.{\log }_3^{2}x - {\log }_3\left(9x\right) + 1 = 0$  có hai nghiệm x₁, x₂ .

Tìm khẳng định đúng?

Biết phương trình ${27}^{\frac{x-1}{x}}.2^x = 72$ có một nghiệm viết dưới dạng $x = - {\log }_a b$, với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 8. Khi đó tính tổng $S = a^2 + b^2$

A. S = 29

B. S = 25

C. S = 13

D. S = 34

Xét các số thực a, b thỏa mãn $a \ge b > 1$. Biết rằng biểu thức $P = \frac{1}{{\log }_{ab}a} + \sqrt{{\log }_a\frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi b = a^k. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đường con trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đã cho ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $9^x - 3^{x+2} + 2 = m$ có 2 nghiệm thực phân biệt?

A. 20

B. 18

C. 21

D. 19

Cho hai đường cong (C₁): y = 3^x(3^x - m + 2) + m² - 3m và (C₂): y = 3^x + 1. Để (C₁) và (C₂) tiếp xúc nhau thì giá trị của tham số m bằng

Phương trình ${\log }_5 \left(x+5\right) = 2$ có nghiệm là

A. x = 20

B. x = 5

C. x = 27

D. x = 30

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\log }_2 \left(x^2 + 5x - 6\right)$

Tìm tập hợp các giá trị thực của m sao cho bất phương trình log₂x + m $\ge \frac{1}{2}{x}^2$ có nghiệm $x\in \left[1;3\right]$

Cho ${\log }_a b = 2$ và ${\log }_a c = 3$. Giá trị của biểu thức $P = {\log }_a \left(\frac{b^2}{c^3}\right)$ bằng

A. 36.

B. $\frac{4}{9}$.

C. -5.

D. 13.

Cho các số thực x, y, z  thỏa mãn $3^x = 5^x = {15}^{\frac{2017}{x+y}-z}$. Gọi S = xy + yz + zx. Khẳng định nào đúng?

Giả sử x, y là những số thực dương thỏa mãn: log₁₆(x+y) = log₉x = log₁₂y. Tính giá trị của biểu thức $P = 1+\frac{x}{y}+{\left(\frac{x}{y}\right)}^2$

Xét các mệnh đề sau

(1) log₂(x - 1)² + 2log₂(x+1) = 6

<=> 2log₂(x-1) + 2log₂(x+1) = 6

(2) log₂(x²+1) $\ge$1 + log₂|x|; $\forall x\in R$

(3) x^lny = y^lnx; $\forall x>y>2$

$$\begin{gathered} \left(4\right) {\log }_2^{2}2x - 4{\log }_{2}x - 4 =0 \\ \iff {\log }_2^{2}x - 4{\log }_{2}x - 3 = 0 \end{gathered}$$

Số mệnh đề đúng là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Trên hình 2.13, đồ thị của ba hàm số y = a^x, y = b^x, y = c^x (a, b, c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số a, b và c

Biết log₆2 = a, log₆5 = b. Tính I = log₃5 theo a, b.

Tính tổng S = x₁ + x₂ biết x₁, x₂ là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức $2^{x^2-6x+1} = {\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-3}$?

A. S = 4

B. S = 8

C. S = -5

D. S = 2

Tìm n biết $\frac{1}{{\log }_{2}x}+\frac{1}{{\log }_{2^2}x}+\frac{1}{{\log }_{2^3}x}+...+\frac{1}{{\log }_{2^n}x}=\frac{465}{{\log }_{2}x}$ luôn đúng với mọi $x > 0, x\ne 1$.