Cho vectơ $\overrightarrow{a}\left(1;-3;4\right)$, tìm vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a$, $BC=a$, tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $E$ là trung điểm của $CD$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $BE$ và $SC$

A. $\frac{a\sqrt{30}}{10}$

B. $a$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và có $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $SB$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tan của góc giữa đường thẳng $DM$ và $\left(ABCD\right)$

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{5}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và mặt phẳng đáy bằng ${60}^0$. Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$ bằng

A. $\frac{a\sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ $\overrightarrow{u}=\left(2;3;-1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(5;-4;m\right)$. Tìm m để $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$

A. $-$2

B. 2

C. 4

D. 0

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (Oxy)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;1;3)$ và$B(-1;2;3)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $A(3;-1;0)$ trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(2;1;3), B(0;3;1)$. Trung điểm của AB có toạ độ là

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2)$. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$. Khi đó tọa độ điểm M là

Thiết diện qua trục của hình trụ tròn xoay là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó?

A. $5\mathrm{\pi }$

B. $15\mathrm{\pi }$

C. $20\mathrm{\pi }$

D. $10\mathrm{\pi }$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;-1;2)$ và $B(3;1;0)$. Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là

Trong không gian Oxyz với hệ tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$cho $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ điểm A

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh a góc $ABC={60}^o$ chiều cao bằng $3a$ thể tích của khối chóp bằng. 

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

B. $3a^2\sqrt{3}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left(\alpha \right): x-2y+z-4=0$ đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian Oxyz cho điểm $A(1;1;2)$ và $B(3 ;4 ;5)$. Tọa độ vec tơ $\overrightarrow{AB}$ là

Trong không gian cho hai điểm $A(-1;2;3), B(0;1;1)$ độ dài đoạn AB bằng

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$

A. $\frac{2{\mathrm{\pi a}}^2}{3}$

B. $2{\mathrm{\pi a}}^2$

C. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^2}{3}$

D. $4{\mathrm{\pi a}}^2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A(-1;5;3)$ và $M(2;1;-2)$. Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là

Cho tứ diện ABCD có $CD=a\sqrt{2}$, $∆ABC$ là tam giác đều cạnh a, $∆ACD$ vuông tại A. Mặt phẳng  (BCD) vuông góc với mặt phẳng  (ABD). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3}{3}$

B. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3}{6}$

C. $4{\mathrm{\pi a}}^3$

D. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{2}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(-4; 0;0) và đường thẳng$∆: \left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=-2+3t\\ z=-2t\end{array}\right.$ . Gọi H(a;b;c) là hình chiếu của M lên $∆$. Tính a+b+c?

A. 5

B. -1

C. -3

D. 7

Trong không gian với hệ tọa độ $(O,\stackrel{\rightharpoonup }{i},\stackrel{\rightharpoonup }{j},\stackrel{\rightharpoonup }{k})$ cho 2 điểm A,B thỏa mãn $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}=2\stackrel{\rightharpoonup }{i}-\stackrel{\rightharpoonup }{j}+\stackrel{\rightharpoonup }{k}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=\stackrel{\rightharpoonup }{i}+\stackrel{\rightharpoonup }{j}-3\stackrel{\rightharpoonup }{k}$. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;-2;-l), B(-2;-4;3), C(l;3;-l) và mặt phẳng (P): x+y-2z-3=0 . Tìm điểm $M\in \left(P\right)$ sao cho $|MA+\stackrel{\rightharpoonup }{MB}+2\stackrel{\rightharpoonup }{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình x + y + 2z -13 = 0. Mặt cầu (S) đi qua A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có bán kính nhỏ nhất. Điểm I (a;b;c) là tâm của mặt cầu (S), tính giá trị của biểu thức $T=a^2+2b^2+3c^2$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng $d_1: \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=-1\\ z=t_1\end{array}\right., d_2:\left\{\begin{array}{c}x=t_2\\ y=-1\\ z=0\end{array}\right., d_3: \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=t_3\\ z=0\end{array}\right.$ Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1;2;3) và cắt ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ lần lượt tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC

D. đáp án khác

Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+y+z=0$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z=0$

A. 1.

B. 0.

C. Vô số.

D. 2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+3}{-1}$ , $d_2: \left\{\begin{array}{c}x=-3-t\\ y=6+t\\ z=-3\end{array}\right.$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. d₁ và d₂ chéo nhau.

B. d₁ và d₂ cắt nhau.

C. d₁ và d₂ trùng nhau.

D. d₁ song song với d₂ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+y-z+1=0$ và $\left(\beta \right): -2x+my-2z-2=0$. Tìm m để mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y-3z+5=0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) ?

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{c}x=-1+t\\ y=1+t\\ z=1-t\end{array}\right.$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right): m{x}^2-3y+z+3m=0$ (với m là tham số). Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng d song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0$

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) và đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=1+2t\end{array}\right.$ Biết rằng mặt cầu (S)  tiếp xúc với đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu (S)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x-2)}^2+{(y+1)}^2+{(z-3)}^2=20$ Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình x-2y+2z-1=0 và đường thẳng $∆$ có phương trình $\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+4}{-3}$ Viết phương trình đường thẳng $∆\text{'}$ nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ vuông góc với $∆$ đồng thời cắt (S) theo một dây cung có độ dài lớn nhất.

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x=9+2t\\ y=-1-t\\ z=3-t\end{array}\right.$  và $\left\{\begin{array}{c}x=1-2t\text{'}\\ y=4+t\text{'}\\ z=2+t\text{'}\end{array}\right.$ Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D với các điểm A(-1;1;2), B(-3;2;1), D(0;-1;2) và A'(2;1;2) Tìm tọa độ đỉnh C'

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $△$ có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình x+y-z-2=0 Tính côsin của góc tạo bởi đường thẳng $△$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$