Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC=1, các điểm A,B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA+OB=OC. Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm, chiều dài lăn là 23cm. Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng 9. Tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R. Tìm giá trị lớn nhất của tổng $T= S{A}^2+S{B}^2+S{C}^2+S{D}^2+A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2+A{C}^2+B{D}^2$

Bề mặt một quả bóng được ghép từ 12 miếng da hình ngũ giác đều và 20 miếng da hình lục giác đều cạnh 4,5cm. Biết rằng giá thành của những miếng da này là 150 đồng/ . Tính giá thành của miếng da dùng để làm quả bóng (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị)?

Hình chữ nhật ABCD có AB=6, AD=4. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng:

Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là:

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang ABCD quanh trục OO’, biết OO’=200, O’D=20, O’C=10, OA=10, OB=5

Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 600 độ dài đường sinh bằng a. Dãy hình cầu (S1), (S2), (S3),… (Sn) thỏa mãn: (S1) tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón (N) ; (S2) tiếp xúc ngoài với (S3) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (N), (S3) tiếp xúc ngoài với (S2) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (N). Tính tổng thể tích các khối cầu (S1), (S2), (S3),… (Sn) theo a.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2a, BC=3a. Gọi E, F lần lượt là các điểm trên các cạnh AD, BC sao cho EA=2ED, FB=2FC. Khi quay quanh AB các đường gấp khúc AEFB, ADCB sinh ra hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là $S_1, S_2$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$.

Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài lăn là 25 cm (như hình dưới đây). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là:

Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu bán kính R và có đường cao bằng bán kính mặt cầu. Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2a, BC=3a. Gọi M, N là các điểm trên các cạnh AD, BC sao cho MA=2MD, NB=2NC. Khi quay quanh AB, các đường gấp khúc AMNB, ADCB sinh ra các hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là $S_1, S_2$ .Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$

Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng đi qua trục SO của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh bên độ dài bằng a. Tính diện tích của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB=2a, $AD=a\sqrt{3}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng $30°$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,$\widehat{ABC}=60°$ . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$có cạnh bằng 2a. Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ bằng

A. $2{\mathrm{\pi a}}^3$

B. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3}{2}$

C. $8{\mathrm{\pi a}}^3$

D. $4{\mathrm{\pi a}}^3$

Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$có cạnh bằng a, gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A\text{'}B$ và mặt phẳng $\left(BB\text{'}D\text{'}D\right)$. Tính $\sin \alpha$

A. $\frac{\sqrt{3}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ${(x-2)}^2+y^2+{(z+1)}^2=9$ và mặt phẳng (P): 2x-y-2z-3=0. Biết rằng mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính bán kính R của (C)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{-2}$. Điểm nào dưới đây KHÔNG thuộc đường thẳng d?

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x ( 2 + ln x) là

A. .

 B. .

C. .

D. .

Biết rằng ${\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}$ là một nguyên hàm của f(-x) trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$. Gọi F(x) là một nguyên hàm của $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$ thỏa mãn F(0)= 1, giá trị của F(-1) bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z+7=0 và điểm A(1;1;-2). Điểm H(a;b;-1) là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Tổng a+b bằng

A. 3

B. -1

C.  3

D. 2

Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi A'B và đáy bằng 60$°$. Tính thể tích khối lăng trụ  

A. $\frac{3a^3}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. $a^3\sqrt{3}$

D. $3a^3$

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 1) ln x là

A. .

B. .

C. .

D. .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng $△$ đi qua M(2;1;0) và vectơ chỉ phương $\stackrel{\rightharpoonup }{a}(4;-6;2)$

Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f(x) + f'(x) = x và f(0) = 1. Tính f(1).

A. 2/e

B. 1 / e

C. e

D. e / 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích V của khối chóp S.ABC là

A. V = $a^3$

B. V = 2$a^3$

C. V = $\frac{a^3}{8}$

D. V = $\frac{a^3}{2}$

Cho $\mathrm{I}={\int }_1^2\frac{\mathrm{x}+\ln \mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\ln 2-\frac{1}{\mathrm{c}}$ với a, b, c là các số nguyên dương và các phân số là phân số tối giản.

Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$.

A. .

B. .

C. .

D. .

Cho tam giác ABC có A(1;-2;0), B(2;1;-2), C(0;3;4). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp \left(ABC\right)$, $∆ABC$ là tam giác đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$.

A. $h=\frac{a\sqrt{3}}{7}$

B. $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $h=\frac{2a}{\sqrt{7}}$

D. $h=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x>0$. Biết $f\left(1\right)=2$, hỏi khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

A. $f\left(2\right)=1$

B. $f\left(-2\right)=2$

C. $f\left(2\right)+f\left(3\right)=4$

D. $f\left(2016\right)>f\left(2017\right)$

Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn SA. SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B'. C' sao cho SA' = $\frac{1}{2}$SA, SB' = $\frac{1}{3}$SB, SC' = $\frac{1}{4}$SC. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{1}{24}$

D. $\frac{1}{6}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-4x-4y+6z-3=0$. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d gữa hai đường thẳng SA và BD.

A. d = $\frac{a\sqrt{21}}{14}$

B. d = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

C. d = $\frac{a\sqrt{21}}{7}$

D. d = a

Gọi F(x) là nguyên hàm trên R của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{a}\ne 0)$ , sao cho $\mathrm{F}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{F}\left(0\right)+1$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. .

B. .

C. .

D. .

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có tính chất $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(0;3\right) và f^{\text{'}}\left(x\right)=0$  khi và chỉ khi $x\in \left[1;2\right]$. Hỏi khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $f\left(x\right)$ là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng $\left(1;2\right)$.

B. Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;3\right)$.

C. Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(2;3\right)$.

D. Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;1\right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-1;-1;0), B(3;1;-1). Điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là:

Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều cạnh chung BC = 2. Gọi I là trung điểm của BC,  $\widehat{AID} = 2\alpha$ mà cos 2$\alpha$ = -$\frac{1}{3}$. Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

A. O là trung điểm của AD.

B. O là trung điểm của BD.

C. O thuộc mặt phẳng (ADB).

D. O là trung điểm của AB.

Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều cạnh chung BC = 2. Gọi I là trung điểm của BC,  $\widehat{AID} = 2\alpha$ mà cos 2$\alpha$ = -$\frac{1}{3}$. Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

A. O là trung điểm của AD.

B. O là trung điểm của BD.

C. O thuộc mặt phẳng (ADB).

D. O là trung điểm của AB.