Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao $A{A}_1$. Gọi I là trung điểm $A{A}_1$. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

Cho hình nón (N) có đường cao SO = h và bán kính đáy bằng R , gọi M là điểm trên đoạn SO , đặt OM = x, 0<x<h. (C) là thiết diện của mặt phẳng (P) vuông góc với trục SO tại M , với hình nón (N). Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất.

Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng $36{\mathrm{\pi a}}^2$. Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.

Cho tứ diện ABCD cạnh a . Diện tích xung quanh hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiếu cao tứ diện ABCD là:

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $f\left({\sin }^{2}x\right)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi

A. $m\in \left[-1;0\right]$

B. $m\in$[-1;3]

C. $m\in$(-1;1)

D. $m\in$[-1;1]

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$, có bảng biến thiên như sau

Phương trình $2f\left(x\right)=m=0$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

A. $m\in \left(-4;2\right)$         

B. $m\in$(-4;8)

C. $m\in$(-8;4)

D. $m\in$(-2;4)

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$ là

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(3^x-1\right),\forall x.$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

A.2

B. 1

C. 3

D. 4

Cho hàm số $y=\frac{3x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đều có tọa độ nguyên?

A. 30

B. 12

C. 15

D. 24

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (−8;8) để hàm số $y=\frac{2\sqrt{9-x^2}}{\sqrt{9-x^2}-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\sqrt{5}\right)$?

A. 9

B. 7

C. 8

D. 6

Cho hàm số $y=x^5-m{x}^4+\left(m^3-3m^2-4m+12\right)x^3+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Họ đường cong $\left(C_m\right): y=m{x}^3-4m{x}^2+\left(3m-3\right)x+1$ đi qua những điểm cố định nào?

Cho hình tứ diện đều cạnh 2a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. $\frac{4\pi a^2\sqrt{3}}{3}$

B. $2\pi a^2\sqrt{3}$

C. $\frac{\pi a^2\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{8\pi a^2\sqrt{3}}{3}$

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = SC = a , SB = 2a . Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBO) và (SBC) bằng:

A. 30⁰

B. 90⁰

C. 60⁰

D. 45⁰

Thể tích của miếng xúc xích dạng nửa hình trụ có đường kính đáy 2 cm và chiều cao 3 cm là:

A. $6c{m}^3$

B. $\frac{3\pi }{2}c{m}^3$

C. $6\pi c{m}^3$

D. $\frac{3}{2}c{m}^3$

Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Nếu ta đặt quả bóng lên miệng chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng $\frac{3}{4}$  chiều cao của quả bóng. Gọi V₁ ,V₂ lần lượt là thể tích của quả bóng và thể tích chiếc chén, khi đó:

A. 3V₁ = 2V₂

B. 9V₁ = 8V₂

C. 27V₁ = 8V₂

D. 16V₁ = 9V₂

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ?

A. y+5=0

B. z+20=0

C. x-2019=0

D. 2x+5y-8z=0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): x-y+3=0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)

A. 60$°$

B. 30$°$

C. 120$°$

D. 45$°$

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng  $d: \frac{x+5}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}$ và mặt phẳng (P): 3x+4y+5z=0 Khi đó:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;3;4), B(3;1;0). Gọi M là điểm trên mặt phẳng (Oxz) sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là ngắn nhất. Tìm hoành độ $x_0$ của điểm M.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-1;2;2), B(3;-1;-2), C(-4;0;3). Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng (Oxz) sao cho biểu thức $\left|\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d: \frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}$ và mặt cầu $\left(S\right): {(x-3)}^2+{(y-2)}^2+{(z-5)}^2=36$. Gọi $△$ là đường thẳng đi qua A(2;1;3), vuông góc với đường thẳng d và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thằng $△$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;a;b)$. Tính

A. 4

B. -2

C. $\frac{-1}{2}$

D. 5

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;2]. Biết f(0) =1 và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(2-\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{2{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}}$  với mọi $\mathrm{x}\in [0;2]$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^2\frac{\left({\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$.

A. I = -14/3

B. I = -32/5

C. I = -16/3

D. I = -16/5

Cho điểm A(-3;5;-5) ,B(5;-3;7) và mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+y+z=0$. Xét điểm M thay đổi trên $\left(\alpha \right)$, giá trị lớn nhất của $M{A}^2-2M{B}^2$ bằng

A. 398

B. 379

C. 397

C. 498

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thoả mãn $\mathrm{f}\left(1\right)+\mathrm{f}\left(1-\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3\left(1-\mathrm{x}\right)$ và f(0)=0. Tính $\mathrm{I}={\int }_0^2\mathrm{xf}\text{'}\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)$ bằng

A. -1/10

B. 1/20

C. 1/10

D. -1/20

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+{(y-3)}^2+{(y+4)}^2=4$. Xét hai điểm M,N di động trên (S) sao cho MN=1 Giá trị nhỏ nhất của $O{M}^2-O{N}^2$ bằng

A. -10

B. $-4-3\sqrt{5}$

C. -5

D. $-6-2\sqrt{5}$

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $\left(S\right): {(x-2)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=9$ và điểm $M(a;b;c)\in \left(S\right)$ sao cho biểu thức P=2a+2b+2c đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T=a+b+c.

A. 2

B. 1

C. -2

D. -1

Tính thể tích khối cầu có đường kính 2a.

A. $\frac{2\pi a^3}{3}$

B. $4\pi a^2$

C. $\frac{4\pi a^3}{3}$

D. $\frac{4\pi a^2}{3}$

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(-10;-5;8), B(2;1;-1), C(2;3;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0. Xét điểm M là điểm thay đổi trên (P) sao cho $M{A}^2+2M{B}^2+3M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $M{A}^2+2M{B}^2+3M{C}^2$

A. 54

B. 282

C. 256

D. 328

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng 2a . Tính thể tích của khối nón được tạo nên từ hình nón đó.

A. $\frac{1}{3}\pi a^3\sqrt{3}$

B. $\pi a^3\sqrt{3}$

C. $\frac{1}{4}\pi a^3\sqrt{3}$

D. $\frac{1}{12}\pi a^3\sqrt{3}$

Cho khối nón có thiết diện qua trục là tam giác cân có một góc 120⁰ và cạnh bên bằng a . Tính thể tích khối nón.

A. $\frac{\pi a^3}{8}$

B. $\frac{\pi a^3}{8}$

C. $\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{24}$

D. $\frac{\pi a^3}{4}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1), biết M(x;y;z) để $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thì x+y+z bằng

A. 6

B. $\frac{21}{4}$

C. 8

D. 9

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4;-2;4), B(-2;6;4), C(5;-1;-6). Xét các điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\widehat{AMB}=90°$, đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất bằng

A. $\sqrt{73}$

B. $5\sqrt{3}$

C. 10

D. 8

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a$\sqrt{2}$ . Tam giác SAC vuông cân tại S  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $\frac{\sqrt{2}\pi a^3}{3}$

B. $4\pi a^3\sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}\pi a^3}{3}$

D. $4\pi a^3$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(8;5;-11), B(5;3;-4), C(1;2;-6) và mặt $\left(S\right): {(x-2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-1)}^2=9$. Gọi điểm M(a;b;c) là điểm trên (S) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm a+b

 A. 6

B. 2

C. 4

D. 9

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n trên R thỏa mãn $\mathrm{f}\left(1-\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^2\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}$ với mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{R}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{xf}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

A. I = 1

B. I = 2

C. I = 1/3

D. I = 2/3

Cho tam giác ABC vuông tại B và nằm trong mặt phẳng (P) có AB=2a, BC=$2\sqrt{3}a$  . Một điểm S thay đổi trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ($S\ne A$)  . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết rằng khi S thay đổi thì bốn điểm A, B, H, K thuộc mặt cầu cố định. Tính bán kính R của mặt cầu đó.

A. $R=2a$

B. $R=\sqrt{3}a$

C. $R=\sqrt{2}a$

D. $R=a$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{3}$ và hai điểm A(2;0;3), B(2;-2;-3). Biết điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc d thỏa mãn $P=M{A}^4+M{B}^4+M{A}^2.M{B}^2$ nhỏ nhất. Tìm $y_0$

, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(0\le \mathrm{x}\le 3\right)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và $3\sqrt{9-{\mathrm{x}}^2}$, bằng:

A. 3

B. 18

C. 20

D. 22