Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$, từ $B$ đến mặt phẳng $\left(SAC\right)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$; từ $C$ đến mặt phẳng $\left(SAB\right)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

A. $\frac{1}{36}$

B. $\frac{1}{48}$

C. $\frac{1}{12}$

D. $\frac{1}{24}$

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a, b, c, d$ là các hệ số thực và $a\ne 0$. Hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ khi và chỉ khi:

A. $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ b^2\le 3ac\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ b^2<3ac\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ b^2\ge 3ac\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ b^2<3ac\end{array}\right.$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sinh của góc tạo bởi đường thẳng $MD$ và mặt phẳng $\left(SBC\right)$ với $M$ là trung điểm của $BC$

A. $\frac{\sqrt{15}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{13}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{13}}{5}$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục, không âm trên đoạn $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$, thỏa mãn $f\left(0\right)=\sqrt{3}$và $f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)=\cos x.\sqrt{1+f^2\left(x\right)}$, $\forall x\in \left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số $f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$.

A. $m=\frac{\sqrt{21}}{2}$, $M=2\sqrt{2}$.

B. $m=\frac{5}{2}$,$M=3$

C. $m=\frac{\sqrt{5}}{2}$, $M=\sqrt{3}$.

D. $m=\sqrt{3}$, $M=2\sqrt{2}$.

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-2y+z+5=0. Khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) đến mặt phẳng (P) bằng

A. $\frac{4}{9}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $-\frac{4}{3}$

Đồ thị hàm số y = $\left|x^3\right|-3x^2-1$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): 2x-y-2z-7=0 và (Q): 2x-y-2z-1=0 bằng

A. $\frac{4}{3}$

B. 3

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{7}{3}$

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x+2y+2z-10=0 và (Q): x+2y+2z-3=0 bằng

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{8}{3}$

D. 2

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(10;2;1) và đường thẳng d: $\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{3}$. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A, song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và (P) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến mặt phẳng (P) bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng phẳng (P): x-2y+2x-1=0 và đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$. Biết điểm A(a;b;c) là điểm nằm trên đường thẳng d và cách (P) một khoảng bằng 1. Tính tổng S = a+b+c

A. S = 2

B. S = $-\frac{2}{5}$

C. S = 4

D. $S = \frac{12}{5}$

Với giá trị nào của m thì hàm số  $y=\frac{\sin x-m}{\sin x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$  ?

A. m > 0

B. -1 $\le$m <  0

C. -1 < m < 0

D. -1 < m

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-2;-2;1), A(1;2;-3) và đường thẳng d: $\frac{x+1}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-1}$. Tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  của đường thẳng $∆$  đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất.

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số

y = $x^3+3\left(m+1\right)x^2$+1-m   đạt cực tiểu tại

A. m = $\frac{1}{2}$

B. Không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đề bài

C. m = -$\frac{3}{2}$

D. m = -$\frac{1}{2}$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:$d_1: \frac{x-3}{-4} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+1}{1}$ và $d_2: \frac{x}{-6} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{2}$ . Khoảng cách giữa chúng bằng

A. 5.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^4-3x^2-4$  và trục hoành là

A. −1;1

B. −2;−1;2

C. −2;2

D. −2;−1;1;2

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left(d_1\right): \frac{x+7}{3} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-9}{4}$  và $\left(d_2\right): \frac{x}{3} = \frac{y+4}{-1} = \frac{z+18}{4}$  bằng

A. 30.

B. 20.

C. 25.

D. 15.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$  trên đoạn  là

A. 2

B. -$\frac{1}{2}$

C. 1

D. 0

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó a+2b+3c bằng

A. 12.

B. 21.

C. 15.

D. 18.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=12$ và mặt phẳng (P): x-2y+2z+11=0. Xét điểm M di động trên (P); các điểm A, B, C phân biệt di động trên (S) sao cho AM, BM, CM là các tiếp tuyến của (S). Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng ax+by+cz+5=0 qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với (P): 2x-y+3x+4=0  . Giá trị của a-b+c bằng

A. 9.

B. 12.

C. 10.

D. 8.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(1;2;4); N(0;1;2); P(2;1;3) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: x+Ay+Bx+C=0  . Biết $\left(\alpha \right)$  song song với OP và đi qua hai điểm M, N. Giá trị của biểu thức A+B-C là

A. 1.

B. -1.

C. -5.

D. 0.

Trong không gian Oxyz, cho hinh lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$  biết A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0),$A_1(0;0;1)$. Gọi (P): ax+by+cz-3=0 là phương trình mặt phẳng chứa $C{D}_1$  và tạo với mặt phẳng $\left(B{B}_1{D}_{1}D\right)$  một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của T=a+b+c bằng

A. -1.

B. 6.

C. 4.

D. 3.

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên đoạn [0;2]. Biết rằng f(2) = -3 và ${\int }_0^{2}xf\text{'}\left(x\right)dx=-4$ Tính tích phân $I={\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$ 

A. I = 2.

B. I = 0.

C. I = -7.

D. I = -2.

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy $\left(ABCD\right)$ và $SA=a\sqrt{6}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là

A. $\frac{a^3}{4}$

B. $a^3\sqrt{3}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. $a^3\sqrt{\frac{2}{3}}$

Cho  một vật chuuyển động với gia tốc $a\left(t\right)=-20\cos \left(2t+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)(m/s^2)$ Biết vận tốc của vật vào thời điểm $t=\frac{\mathrm{\pi }}{12}\left(s\right)$ là $15\sqrt{2}(m/s)$ Tính vận tốc ban đầu của vật.

A. $5\sqrt{2}(m/s).$

B. $\sqrt{2}(m/s).$

C. $0(m/s).$

D. $10\sqrt{2}(m/s).$

Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng ax+by+cz-24=0 qua A(1;2;3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 3x-2y+z+4=0, (Q): 5x-4y+3z+1=0. Giá trị a+b+c bằng

A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. 12.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$ sao cho $x^2+x.f\left(e^x\right)+f\left(e^x\right)=1$ với mọi $x\in \left(0;+\infty \right)$ Tính tích phân $I={\int }_{\sqrt{e}}^e\frac{\ln x.f\left(x\right)}{x}dx.$ 

A. $I=-\frac{1}{8}.$

B. $I=-\frac{2}{3}.$

C. $I=\frac{1}{12}.$

D. $I=\frac{3}{8}.$

Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=2 và {\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=-8$. Tính tích phân $I={\int }_{-1}^{2}f\left(\left|2x-3\right|\right)dx.$

A. I = -8

B. I = -2

C. I = -4

D. I = -6

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(10;1;1), B(10;4;1) và C(10;1;5). Gọi $\left(S_1\right)$ là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 1; gọi $\left(S_2\right)$  là mặt cầu có tâm B, bán kính bằng 2 và $\left(S_3\right)$ là mặt cầu có tâm C, bán kính bằng 4. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu.

A.4.

B.7.

C.2.

D. 3.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, $BD=2a$ . Tam giác SAC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp  S.ABCD là

A. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3}{3}$

B. $4{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}$

C. ${\mathrm{\pi a}}^3$

D. $4{\mathrm{\pi a}}^3$

Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng I quanh trục Ox.

A. $\frac{160\mathrm{\pi }}{3}$

B. $\frac{320\mathrm{\pi }}{3}$

C. $\frac{160}{3}$

D. $\frac{320}{3}$

Cho ${\int }_1^2(x+1)e^{x}dx=a{e}^2+be+c$ với a,b,c là các số nguyên. Tính a + b + c. 

A. 0

B. 1

C. 4

D. 3

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị (C) . Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hoành độ bằng -1 cắt (C) tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (C)  (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng:

A. $\frac{27}{4}$

B. $\frac{11}{2}$

C. $\frac{25}{4}$

D. $\frac{13}{2}$

Hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}, \forall x\in \left(0;3\right); f^{\text{'}}\left(x\right)>0$, $\forall x\in \left(4;7\right)$. Xét $\left(x_1-x_2\right)\left(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right)$ với $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$. Hỏi cặp giá trị nào sau đây thì biểu thức trên là số dương ?

A. $x_1=1;x_2=6$.

B. $x_1=5;x_2=2$.

C. $x_1=6;x_2=5$.

D. $x_1=1;x_2=2$.

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+1$

và giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó điều kiện để đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ là ?

A. ab=2

B. a=0

C. a=3b

D.ab=9

Hàm số $y=x^3-3x+3$ có giá trị cực đại là

A. -1.

B. 5.

C. 1.

D. 7.

Hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)>0, \forall x\in \left(0;+\infty \right)$, biết $f\left(2\right)=1$. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

A. $f\left(2\right)+f\left(3\right)=4$.

B. $f\left(2016\right)>f\left(2017\right)$.

C. $f\left(1\right)=4$.

D. $f\left(3\right)=0$.

Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r=2m, chiều cao h=6m. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V.

Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68.5(cm). Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích 49.83(cm²). Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau