Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 30$°$. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{18}$ 

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{36}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{18}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{36}$

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (BDD'B') chia khối lập phương thành

A. Hai khối lăng trụ tam giác.

B. Hai khối tứ diện.

C. Hai khối lăng trụ tứ giác.

D. Hai khối chóp tứ giác.

Hình bát diện đều có số cạnh là

A. 6.

B. 10.

C. 12.

D. 8.

Cho khối chóp S.ABCD cạnh bên SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

A. 6$a^3$

B. $\frac{a^3}{3}$

C. 2$a^3$

D. $a^3$

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = a$\sqrt{3}$, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$ 

B. $\frac{a^3}{2}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a^3}{4}$

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60$°$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, DC. Thể tích khối tứ diện ACMN là

A. $\frac{a^3}{8}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng

A. 60$°$

B. 90$°$

C. 45$°$

D. 75$°$

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC = a$\sqrt{2}$, biết góc giữa (A'BC) và đáy bằng

60$°$. Tính thể tích V của khối lăng trụ.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

Cho số phức z thỏa mãn: $\left|z-2-2i\right|=1$ . Số phức $z-i$  có môđun nhỏ nhất là

A. $\sqrt{5}-1$

B. $\sqrt{5}+1$

C. $\sqrt{5}-2$

D. $\sqrt{5}+2$

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, BB' = a$\sqrt{3}$. Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (BCC'B').

A. 60$°$

B. 90$°$

C. 45$°$

D. 30$°$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A'D.

A. a

B. $\frac{3a}{8}$

C. $\frac{2a}{5}$

D. $\frac{a}{3}$

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích khói tứ diện ABC.

A. $\frac{abc}{3}$

B. $\frac{abc}{4}$

C. $\frac{abc}{6}$

D. $\frac{abc}{2}$

Khối tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng.

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. 3.

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE = 2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.

A. V = $\frac{1}{6}$

B. V = $\frac{1}{3}$

C. V = $\frac{1}{12}$

D. V = $\frac{2}{3}$

Tính thể tích của khối nón biết thiết diện qua trục của nó là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a.

A. $\pi a^3$

B. $\frac{2\pi a^3}{3}$

C. $\frac{\pi a^3}{3}$

D. $2\pi a^3$

Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm, bán kính đáy cốc là 4cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y+2z-3=0 và mặt phẳng (P) không qua O, song song mặt phẳng (Q) và d((P);(Q))=1. Phương trình mặt phẳng (P) là

A. x+2y+2z+3=0

B. x+2y+2z=0

C. x+2y+2z+1=0

D. x+2y+2z-6=0

Phương trình mặt phẳng Oxyz chứa trục Oz và cắt mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-2x+2y-6=0$ theo đường tròn có bán kính bằng 3 là

A. x+y=0

B. x-y=0

C. x+2y=0

D. x-2y=0

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${(x-2)}^2+{(y+1)}^2+{(z+2)}^2=4$ và mặt phẳng (P): 4x-3y-m=0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng 1 điểm chung

A. m=1

B. m=-1 hoặc m=-21

C. m=1 hoặc m=21

D. m=-9 hoặc m=31

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {(x+2)}^2+{(y+1)}^2+{(z-1)}^2=12$. Mặt phẳng nào sau đây cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn?

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A,B,C (khác 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là

Cho mặt cầu (S) có đường kính 10cm và mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu một khoảng 4cm. Khẳng định nào sau đây sai?

A. (P) và (S) có vô số điểm chung

B. (P) tiếp xúc với (S)

C. (P) cắt (S) theo một đường tròn bán kính 3cm

D. (P) cắt (S)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz khoảng cách từ tâm mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-4x-4y-4z-1=0$ đến mặt  phẳng (P): x+2y+2z-10=0 bằng

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. 0

D. $\frac{8}{3}$

Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu số thực m để mặt phẳng (P): x+2y-2z-1=0 song song với mặt phẳng $\left(Q\right): 2x+(m+2)y-2mz-m=0$ ?

A. 1

B. 0

C. Vô số

D. 2

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3;-1;4) và mặt cầu $\left(S_1\right): {(x-1)}^2+y^2+{(z-2)}^2=1$. Phương trình của mặt cầu (S) có tâm Ivà tiếp xúc ngoài với mặt cầu $\left(S_1\right)$ là

Trong không gian Oxyz, cho mặt $\left(S\right): x^2+y^2+z^2+2x+4y-6z-m+4=0$. Tìm số thực m để mặt phẳng (P): 2x-2y+z+1=0 cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

A. m=3

B. m=2

C. m=1

D. m=4

Một cây thông Noel có dạng hình nón với chiều dài đường sinh bằng 60cm và bán kính đáy r = 10cm. Một chú kiến bắt đầu xuất phát từ một đỉnh nằm trên mặt đáy hình nón và có dự định bò một vòng quanh cây thông sau đó quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu. Tính quãng đường ngắn nhất mà chú kiến có thể đi được là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0. Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng $16\mathrm{\pi }$

Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2 dm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm).

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+y+z-1=0$ và $\left(\beta \right): 2x-y+mz-m+1=0$, với m là tham số thực. Giá trị của m để $\left(\alpha \right) \perp \left(\beta \right)$ là

A. -1

B. 0

C. 1

D. -4

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-6x+4y-12=0$. Mặt phẳng nào sau đây cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=3?

Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét. Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lổ ở đỉnh S . Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn MN. (Hình vẽ 4: Thiết diện qua trục của hình nón nước).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$, $d_2: \frac{z+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$. Xét vị trị tương đối của hai đường thẳng đã cho.

A. Chéo nhau

B. Trùng nhau

C. Song song

D. Cắt nhau

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1;0), B(3;0;1) và song song với $△: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$. Tính khoảng cách giữa $△$ và mặt phẳng (P).

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{3}{\sqrt{2}}$

Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$ và mặt phẳng (P): x+y+z+2=0 bằng

A. $2\sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

D. $\sqrt{3}$

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z+1=0 và đường thẳng $△: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$. Khoảng cách giữa $△$ và (P) bằng

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{6}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{8}{\sqrt{3}}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng $△: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng (P): x-2y+2z+4=0 là

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{1}$ và $d_2: \left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-1-2t\\ z=2+2t\end{array},t\in R\right.$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng

A. $\frac{\sqrt{87}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{174}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{174}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{87}}{3}$