Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d_1: \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3\end{array}\right.$ và $d_2: \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+7t\\ z=3+t\end{array}\right.$ Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa $d_1$ và $d_2$ là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $B(2;2;-3)$, $C(7;4;-3)$. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác OBC (O là gốc tọa độ) là

Trong không gian Oxyz cho điểm A thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ với $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục Ox, Oy. Tọa độ điểm A là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = \left(1;-2;1\right)$  và $\overrightarrow{v } = \left(2;1;-1\right)$ . Vectơ nào dưới đây vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$  và $\overrightarrow{v}$ ?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$; $d_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ Phương trình đường thẳng $△$ cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại A và B sao cho AB nhỏ nhất là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) $x^2+y^2+z^2+2x-4y-4z+5=0$. Tọa độ tâm và bán kính của (S) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d: \frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+1}{1}$ và mặt phẳng (P): 2x+y-2z-12=0. Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ($\alpha$): x-2y=0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=3+2t\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): x-2y+3z-2=0. Đường thẳng $△$ nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc đường thẳng d có phương trình là

Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường vuông góc chung $△$ của hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2}$ và $d_2: \left\{\begin{array}{l}x=-3t\\ y=t\\ z=-1-3t\end{array}\right.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2;-2;1), A(1;2;-3) và đường thẳng $d: \frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$ Tìm vectơ chỉ phương $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ của đường thẳng $∆$ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất

Cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+10=0$ Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): ax+by+cz-9=0 đi qua hai điểm A(3;2;1), B(-3;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x+y+z+4=0 Tính tổng S=a+b+c

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right): 3x+y+z=0$ và đường thẳng $△: \frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}$. Phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, cắt và vuông góc với đường thẳng $△$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;0;1), B(1;1;-1), C(5;0;-2). Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH là thành hình thang cân với hai đáy AB, CH.

Trong không gian cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1). Diện tích của tam giác ABC là

A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{10}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{15}}{2}$

Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;1) và mặt phẳng (P): 2x-y+2z+1=0. Viết đường thẳng $△$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;1), B(3;2;1), C(7;3;5), D(4;6;2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x+y-2z+1=0. Véc tơ nào sau đây là véc tơ pháp tuyến của (P)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6), D(2;4;6)  Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(3;0;1). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình tổng quát là

Trong không gian Oxyz, véc tơ nào dưới đây cùng hướng với véc tơ $\overrightarrow{a}=(3;-1;-2)$?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(3;-2;0) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxya, mặt cầu (S): ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=4$ có tâm là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng (P): x+2y+z-4=0 và đường thẳng $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$ Đường thẳng $△$ nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm $A(0;2;-1), B(-5;4;2), C(-1;0;5)$. Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(8;-2;4) Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ.

Trong không gian với hệ tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, cho $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Tính $\left|\overrightarrow{u}\right|$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S₁) có tâm I (2;1;1) bán kính bằng 4 và mặt cầu (S₂) có tâm J (2;1;5) bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S₁), (S₂). Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M² + m² bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;1), B(-1;0;1)$. Trung điểm AB có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z-3=0 và hai điểm M(1;1;1), N(-3;-3;-3). Mặt cầu (S) đi qua hai điểm M.N và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm Q. Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;-3)$ và $B(5;-4;1)$. Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0;1;-1)$, $B(2;3;2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm $A(1;3;-1), B(3;-1;5)$. Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0;1;l), B(3;0;-1), C (0;21;-19) và mặt cầu$\left(S\right): {(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=1$. M (a,b,c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức $T=3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a^2+b^2+c^2$

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(4;-2;3)$. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm M. Tọa độ của điểm M là

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(-1;0;3), B(2;2;3), C(5;1;0)$. Trọng tâm của tam giác ABC có toạ độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A(-1;2;-3)$ và $B(-3;-1;1)$. Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là

Trong không gian cho ba điểm $A(5;-2;0)$, $B(-2;3;0)$ và $C(0;2;3)$. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ