Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc ${60}^{\circ }$ tính tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$?

Một hình nón có đỉnh S có bán kính đáý bằng $2a\sqrt{3}$, góc ở đỉnh là ${120}^{\circ }$. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là 1 tam giác. Diện tích lớn nhất $S_{max}$ của tam giác là bao nhiêu?

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy h = 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:

A. $S=56\left(c{m}^2\right).$

B. $S=55\left(c{m}^2\right).$

C. $S=53\left(c{m}^2\right).$

D. $S=46\left(c{m}^2\right).$

Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần chung của chúng biết hai trục của hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau.

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ có hai điểm cực trị A và B và đường thẳng AB cắt đường tròn ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=3$ tại hai điểm phân biệt M, N sao cho khoảng cách MN lớn nhất

A. 1

B. 2

C. 5

D. Vô số

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $\mathrm{y}={\left(\mathrm{x}-3\right)}^2$, trục hoành và trục tung. Gọi ${\mathrm{k}}_1,{\mathrm{k}}_2 ({\mathrm{k}}_1>{\mathrm{k}}_2)$lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng đi qua điểm A(0;9) và chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên).

Giá trị của ${\mathrm{k}}_1-{\mathrm{k}}_2$ bằng

A. .

B. 7. 

C. .

 D .

Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V' là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh tứ diện đã cho. Tỉnh tỉ số $\frac{V\text{'}}{V}$

A. $\frac{V\text{'}}{V}$ = $\frac{1}{4}$

B. $\frac{V\text{'}}{V}$ = $\frac{5}{8}$

C. $\frac{V\text{'}}{V}$ = $\frac{3}{8}$

D. $\frac{V\text{'}}{V}$ = $\frac{1}{2}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn -9 của tham số m để phương trình $$\begin{gathered} \left(2\cos x-1\right)\left(2\cos 2x+2\cos x-m\right) \\ =3-4{\sin }^{2}x \end{gathered}$$ 

có hai nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$

A. 6

B. 5

C. 1

D. 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông đường chéo AC = 2$\sqrt{2}$a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A. $a^3$

B. $\frac{4\sqrt{3}{a}^3}{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$

D. $\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $y=\frac{x+1}{x^2+x+m}$ nghịch biến trên khoảng (-1;1)

A. 1

B. Vô số

C. 5

D. 6

Cho hàm số và với có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là của hàm số . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 7,66.

B. 4,24.

C. 3,63.

D. 5,14.

Cho hình chóp S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA= 2SM, SN = 2NB,  là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu (H₁) và (H₂) là các khối đa diện có được khi chia khối chóp S.ABC bới mặt phẳng  trong đó (H₁) chứa điểm S, (H₂) chứa điểm A; V₁ và V₂ lần lượt là thể tích của (H₁) và (H₂). Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{4}{5}$

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{ℝ})$ có đồ thị (C) và $\mathrm{y}={\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{p} (\mathrm{m},\mathrm{n},\mathrm{p}\in \mathrm{ℝ})$ có đồ thị (P) như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A. (0;1)

B. (1;2)

C. (2;3)

D. (3;4)

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a, BAC = 120$°$, mặt bên (AB'C') tạ0 với mặt đáy (ABC) một góc 60$°$. Gọi M là điểm thuộc cạnh A'C' sao cho A'M = 3MC'. Tính thể tích V của khối chóp CMBC'

A. V = $\frac{a^3}{32}$

B. V = $\frac{a^3}{8}$

C. V = $\frac{a^3}{24}$

D. V = $\frac{a^3}{8}$

Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}-\frac{1}{2}$và$\mathrm{y}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{dx}}^2+\mathrm{ex}+1$ trong đó $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{e}\in \mathrm{ℝ}$Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng -3; -1; 2 chi phí trồng hoa là 800000 đồng/1m2 và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số tiền trồng hoa gần nhất với số nào sau đây? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng).

A. 4217000 đồng.

B. 2083000 đồng.

C. 422000 đồng.

D. 4220000 đồng.

Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a có thể tích V bằng:

A. V = $\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 2a, đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D. AB = 2a, AD = CD = a. Khoảng cách từ điêm A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{2a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{2a}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{2a}{3}$

D. $a\sqrt{2}$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên [-2;1] Hình bên là đồ thị của hàm số y =  f’(x). Đặt$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}$

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. g(1) < g(-2) < g(0)

B. g(0) < g(1) < g(-2)

C. g(-2) < g(1) < g(0)

D. g(0) < g(-2) < g(1)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = 2a, tam giác ABC vuông tại B, có AB = a, BC = 2a. Thể tích khối lăng trụ là ABC.A'B'C'

A. 2$a^3$

B. $\frac{2a^3}{3}$

C. $\frac{4a^3}{3}$

D. 4$a^3$

Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{ax}+3{\mathrm{a}}^2}{1+{\mathrm{a}}^6}$ và $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{a}}^2-\mathrm{ax}}{1+{\mathrm{a}}^2}$ có diện tích lớn nhất.

A. .

B. 1.

C. 2.

D. .

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m²). Tính diện tích mặt trên cùng?

A. 8m².

B. 6m².

C. 10m².

D. 12m².

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AD, M là trung điểm của CD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60$°$. Thể tích của khối chóp S.ABCD là

A. $\frac{a^3\sqrt{15}}{6}$

B. $\frac{a^3\sqrt{15}}{12}$

C. $\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{15}}{4}$

Diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=2^{\mathrm{x}}$, y = -x+3, y = 1 bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP = 2PD. Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi (MNP) là

A. S = $\frac{5a\sqrt{147}}{2}$

B. S = $\frac{5a^2\sqrt{147}}{2}$

C. S = $\frac{5a^2\sqrt{51}}{2}$

D. S = $\frac{5a^2\sqrt{51}}{4}$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=(x^2-1)(x-4)$ với mọi $x\in R$. Hàm số $g\left(x\right)=f(3-x)$ có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Gọi (H) là phần in đậm trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=3x^2,y=4-x$ và trục hoành. Diện tích của (H) bằng:

A. $\frac{11}{2}$

B. $\frac{9}{2}$

C. $\frac{13}{2}$

D. $\frac{7}{2}$

Hàm số $f\left(x\right)=\left|\frac{x}{x^2+1}-m\right|$ (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ với a>0, c>2018 và a+b+c<2018. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)-2018\right|$ là

A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

Cho ${\int }_1^3\frac{2x+1}{x^2+3x+x}dx=a\ln 2 +b\ln 3 + c\ln 5,$với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.  Giá trị của a + b + c bằng:

A. -1

B. 4

C. 1

D. 7

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ sau

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

B. Điểm cực tiểu của hàm số là $y=-3$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$.

D. Giá trị lớn nhất của hàm số là 1.

Cho ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=2$. Tích phân ${\int }_1^3\left[2+f\left(x\right)\right]dx$  bằng

A. 6

B. 8

C. 10

D. 4

Điểm cực tiểu của hàm số $y=-x^4+5x^2+4$ là:

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị trái dấu

B. Đồ thị hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ cắt trục tung tại điểm có tung độ dương

C. Đồ thị hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung

D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ nằm bên trái trục tung

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=2x^3+3x^2-1$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$ lần lượt là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=(3-x)(x^2-1)+2x$$,\forall x\in R$. Hỏi hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)-x^2-1$ có bao nhiêu điểm cực tiểu

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{{\cos }^{4}x+\sin x{\cos }^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln (1+\sqrt{3})$,

với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng:

A. 0 

B. -2

C. -4 

D. -6

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+2019$ là

Biết rằng đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2-3x-\frac{1}{x}$ có ba điểm cực trị thuộc một đường tròn (C). Bán kính của (C) gần đúng với giá trị nào dưới đây?

A. 12,4

B. 6,4

C. 4,4

D. 27

Có bao nhiêu số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|x^2-4x+m+3\right|-4x$ bằng -5.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình $2f\left(x\right)+x^3>2m+3x^2$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(-1;3\right)$ khi và chỉ khi