Cho hàm số $y=\frac{2\sin \left(x\right)-m\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)}$ đạt giá trị lớn nhất trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right]$ bằng 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x-2y-2z-2=0 có phương trình là

Trong không gian Oxyz, giao điểm của đường thẳng $d: \frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng (P): 2x-y-z-7=0 có tọa độ là:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=4x^2+\frac{1}{x}-2$ trên $\left[1;2\right]$ là

Cho nửa đường tròn đường kính AB và hai điểm C,D thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{c}x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1+3t\end{array} d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=2+t\text{'}\\ y=-1+2t\text{'}\\ z=-2t\text{'}\end{array}\right.\right.$  và mặt phẳng (P): x+y+yz+2=0. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d, d' có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x+2y+2z-10=0 và (Q): x+2y+2z-3=0. Điểm M là giao của mặt phẳng (P) với trục Oz. Khoảng cách từ M  tới mặt phẳng (Q) bằng

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. 3

D. $\frac{4}{3}$

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\frac{4}{x}$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$. Tìm m

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ và có bảng biến thiên trên $\left(-5;7\right)$ như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\underset{\left(-5;7\right)}{min}f\left(x\right)=2$ và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên $\left(-5;7\right)$.

B. $\underset{\left(-5;7\right)}{max}f\left(x\right)=6$ và $\underset{\left(-5;7\right)}{min}f\left(x\right)=2$.

C. $\underset{\left(-5;7\right)}{max}f\left(x\right)=9$ và $\underset{\left(-5;7\right)}{min}f\left(x\right)=2$.

D. $\underset{\left(-5;7\right)}{max}f\left(x\right)=9$ và $\underset{\left(-5;7\right)}{min}f\left(x\right)=6$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\alpha$: 4x-3y+2z+28=0 và điểm I(0;1;2). Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm  I và tiếp xúc với mặt phẳng $\alpha$ .

Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; 2; 5) và mặt phẳng $\left(\alpha \right):$x-2y+2z+2=0. Phương trình  mặt cầu tâm I và tiếp xúc với $\left(\alpha \right)$ là:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left(x\right)+3=0$ là

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Cho mặt cầu (S) tâm O và các điểm A,B,C nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB=AC=6, BC=8. Khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2. Diện tích mặt cầu (S) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;3) và chứa trục hoành có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1), B(2;1;3), C(3;2;2), D(1;1;1). Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng

A. $\frac{3\sqrt{14}}{14}$

B. $\frac{\sqrt{14}}{14}$

C. $\frac{4\sqrt{14}}{7}$

D. $\frac{3\sqrt{14}}{7}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và A(-2;1;3). Phương trình mặt phẳng (Q) qua A và d là:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết  AB=AA’=a, AC=2a. Gọi M là trung điểm của AC. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA’B’C’ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}= (-3;0;4), \stackrel{\rightharpoonup }{AC}=(5;-2;4)$.

Độ dài trung tuyến AM là:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B. Biết $AB=BC=a\sqrt{3}, \widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90°$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $a\sqrt{2}$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Để sản xuất một tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ, máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ, máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ, máy thứ hai làm việc không quá 4 giờ. Hỏi một ngày tiền lãi lớn nhất là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2 y - z - 1 = 0 , (Q): 3x-(m+2)y+(2m-1)z+3=0. Tìm m để hai mặt phẳng (P), (Q)  vuông góc với nhau.

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-3y+6z+19=0 và điểm A(-2;4;3).Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). khi đó d bằng

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0 cắt mặt cầu (S): x² + y² + z² - 6 y + 2 (m - 2)z + 4 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 3.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=a, $AB=\sqrt{3}a, ∆SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x+5$ trên đoạn $\left[2;4\right]$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^3$, $\forall x\in \mathrm{ℝ}$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 2

C. 5

D. 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+2y-z+5=0 và điểm M(-2;0;3). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{2}{\sqrt{13}}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Cho hàm số $y=x^4-4x^2+3$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[-1;2\right]$. Giá trị của $M+m$ là

Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua M (2;1;3) , A(0; 0; 4) và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại B, C khác O thỏa mãn diện tích tam giác OBC bằng 1?

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P): x-y+2z-3=0 bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 3

Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là $r=\frac{2}{3}$, độ dài đường sinh l=2. Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của OA, OB. Hỏi khi cắt hình quạt theo hình chữ nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường PN trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ M(1;2;-3) đến mặt phẳng (P): x+2y+2z-10=0  .

A. $\frac{11}{3}$

B. 3

C. $\frac{7}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I (1; -2; -1) và có tiếp diện là mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 5 = 0 , có phương trình là:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;3]. Giá trị của M – m bằng

A. 0

B. 1

C. 4

D. 5

Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm, bán kính đáy cốc là 4cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?

Trong không gian Oxyz,   cho  hai  điểm   A (-2; 1; 2), B (-1; 1; 0)  và  mặt  phẳng (P): x+y+z+1=0. Điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. Cao độ của điểm C bằng

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y=\frac{2x-1}{x-1}$

B. $y=\frac{x+1}{x-1}$ 

C. $y=x^4+x^2+1$

D. $y=x^3-3x-1$

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1;-1;3) đến mặt phẳng (P): 2x-y+2z+1=0 bằng

A. 3

B. $2\sqrt{5}$

C. $\frac{10}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{10}{3}$