Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm³. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông; hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào?

Cho các số thực a, b, c thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}a+b+c<-1\\ 4a-2b+c>8\\ bc<0\end{array}\right.$. Đặt $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(\left|x\right|\right)\right|$ lớn nhất có thể có là

Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là $2\beta =60°$ bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng 9cm.  Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.

Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x+2y+3z-1=0 và (Q): x+2y3z-6=0 là

A. $\frac{7}{\sqrt{14}}$

B. $\frac{8}{\sqrt{14}}$

C. 14

D. $\frac{5}{\sqrt{14}}$

Cho mặt cầu (S) có bán kính $R=a\sqrt{3}$. Gọi (T) là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên (S) và có thiết diện qua trục của (T) lớn nhất. Tính diện tích toàn phần $S_{tp}$ của (T).

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(a;b;c) với $a,b,c\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$. Xét (P) là mặt phẳng thay đổi đi qua điểm A. Khoảng cách lớn nhất từ điểm O đến mặt phẳng (P) bằng

Xét các số thực $c>b>a>0$. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Đặt $g\left(x\right)=f\left(\left|x^3\right|\right)$. Số điểm cực trị của hàm số $y=g\left(x\right)$ là

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên không âm của tham số m để hàm số $y=\left|f\left(x-2019\right)+m-2\right|$ có 5 cực trị. Số các phần tử của S bằng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3). Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (ABC) bằng

A. $\frac{3}{5}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{6}{11}$

D. $\frac{6}{7}$

Khối chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau, $SA=a$, $SB=3a$, . Thể tích khối chóp S.ABC tính theo a là

A. $a^3$

B. $4a^3$

C. $12a^3$

D. $2a^3$

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-\left(2m-1\right)x^2+\left(2-m\right)x+2$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$ có 5 cực trị.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: 3x+4y+2z+4=0 và điểm A(1;-2;3). Tính khoảng cách d từ A đến (P)

A. $d = \frac{5}{9}$

B. $d = \frac{5}{29}$

C. $d = \frac{5}{\sqrt{29}}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=a\sqrt{6}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa SC và $\left(SAB\right)$. Giá trị $\tan \alpha$ bằng

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{7}}{7}$

C. $\frac{1}{7}$

D. $\frac{1}{5}$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có đồ thị là đường cong trơn (không bị gãy khúc), hình vẽ bên. Gọi hàm $g\left(x\right)=f\left[f\left(x\right)\right]$. Hỏi phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x+\sqrt{2}\cos x$ trên đoạn $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ ?.

Có bao nhiêu giá trị nguyên nhỏ hơn 2019 của m để hàm số $y=\left|x^3-mx+1\right|$ có 5 điểm cực trị trên $\mathrm{ℝ}$ ?

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;2;-1) tiếp xúc với mặt phẳng (P): x-2y+2z-1=0 có bán kính bằng

A. 2.

B. 4.

C. $\frac{4}{3}$.

D. 9.

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $\left(a,b,c,d\in \mathrm{ℝ}\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề phương trình $2f\left(\left|x\right|\right)-m=0$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ song song với mặt phẳng (P): x+y+z+2=0. Khoảng cách giữa d và (P) bằng

A. $2\sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

D. $\sqrt{3}$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên dưới

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[-2;3\right]$ bằng

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $\left(S\right): {(x-1)}^2+{(y+2)}^2+{(z-2)}^2=4$ và mặt phẳng (P): x-y+2z-1=0 Gọi M là một điểm bất kì trên mặt cầu (S) Khoảng cách từ M đến (P) có giá trị nhỏ nhất bằng

Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-3;0;0); B(0;-3;0); C(0;0;6) Tính khoảng cách từ điểm M(1;-3;-4) đến mặt phẳng (ABC)

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có bảng biến thiên như sau.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.

B. Hàm số có đúng một cực trị.

C. Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và đạt cực tiểu tại $x=3$.

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{-x^2+4x}$ trên khoảng $\left(0;3\right)$ là:

trong không gian Oxyz mặt phẳng đi qua điểm A(-1;1;2) và song song với hai đường thẳng $△: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{1}, △\text{'}: \frac{x}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+1}{1}$  có phương trình là:

Phương trình mặt cầu tâm I(3;-2;4) và tiếp xúc với (P): 2x-y+2z+4=0 là:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Biết $f\left(-4\right)>f\left(8\right)$, khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\mathrm{ℝ}$ bằng

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-x^3-6x^2+\left(4m-9\right)x+4$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ là

A. $(-\infty ;0]$

B. $[-\frac{3}{4};+\infty )$

C. $(-\infty ;-\frac{3}{4}]$

D. $[0;+\infty )$

Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz, tất cả các điểm M nằm trên Oz có khoảng cách đến mặt phẳng $\left(P\right): 2x-y-2z-2=0$ bằng 2 là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{2x+3}{x+\text{'}}$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ là

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2;0;2) và B(0;4;0) Mặt cầu nhận đoạn thẳng AB làm đường kính có phương trình là

Gọi M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{4}{x}+x+1$ trên đoạn $\left[1;3\right]$. Tính $M-m$

Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng vuông góc với trục Oz ?

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập số thực bằng $-\frac{1}{6}$.

B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0.

C. Giá trị lớn nhất của hàm số trên tập số thực bằng 0.

D. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua A(1;2;-1) và vuông góc với các mặt phẳng (P): 2x-y+3z-2=0 (Q): x+y+z-1=0 có phương trình là: 

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\alpha$: 2x-y-2z-4=0 và $\beta$: -4x+2y+4z-4=0 bằng

A. 6

B. 2

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{10}{3}$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ và hàm số $y=g\left(x\right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathrm{ℝ}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=m$ có nghiệm thuộc $\left[-2;3\right]$?

Khoảng nghịch biến của hàm số là ?

A.$\left(0;+\infty \right)$

Trong không gian Oxyz , tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^2+y^2+z^2+2x-4y+4z+m=0$ là phương trình của một mặt cầu.

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa (P): x+2y+2z=0 và (Q): x+2y+2z-12=0 bằng:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4