Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AD = 2a. SA = SB = a;

(SAD)$\perp$(ABCD). Tính thể tích V của hình chóp.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

C. V = $\frac{2a^3}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

Cho hình thang vuông ABCD như hình vẽ. Người ta quay hình thang này xung quanh trục CD tạo thành 1 khối tròng xoay có thể tích V. Tính V theo a.

A. V = $\frac{7{\mathrm{\pi a}}^3}{3}$

B. V = $\frac{5{\mathrm{\pi a}}^3}{3}$

C. V = $\frac{7\sqrt{2}{\mathrm{\pi a}}^3}{6}$

D. V = $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{2}}{6}$

Tứ diện đều ABCD nội tiếp trong mặt cầu bán kính R. Tính AB theo R

A. AB = R$\sqrt{\frac{8}{3}}$

B. AB = R$\sqrt{3}$

C. AB = $\frac{3R}{2}$

D. AB = $\frac{4R}{3}$

Hình chóp SABC có $∆$SAB và $∆$SBC là các tam giác đều cạnh a; $∆$SAC là tam giác vuông. Tính thể tích V của hình chóp SABC

A. V = $\frac{a^3}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{24}$

Hình chóp SABC có SA$\perp$(ABC). Hạ AE $\perp$BC, biết AE = a$\sqrt{2}$ ; góc giữa (ABC) và (ABC) bằng 60º. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = a$\sqrt{\frac{3}{2}}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. h = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

D. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Khối đa diện lồi có thể tích V₁ có 6 đỉnh là giao hai đường chéo của mỗi mặt của một hình hộp có thể tích V. Tính tỉ số k = $\frac{V_1}{V}$

A. k = $\frac{1}{2}$

B. k = $\frac{1}{3}$

C. k = $\frac{1}{4}$

D. k = $\frac{1}{6}$

Tính diện tích xung quanh (S) của một khối đa diện lồi có 12 đỉnh là 12 trung điểm các cạnh của một hình lập phương cạnh a.

A. S = $4a^2$

B. S = $(2+\sqrt{2})a^2$

C. S = $2(1+\sqrt{6})a^2$

D. S = $(3+\sqrt{3})a^2$

Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

A. R = a

B. R = $\frac{a}{2}$

C. R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. R = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của hình chóp đó.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

D. V = $\frac{a^3}{3}$

Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a với $\widehat{BAD} = 60°$, biết SA$\perp$(ABCD) và SA = $\frac{a}{2}$. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = $\frac{a}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

C. h = $\frac{3a}{4}$

D. h = $\frac{a\sqrt{6}}{4}$

Tứ diện đều ABCD nội tiếp trong mặt cầu bán kính R. Tính độ dài AB. 

A. AB = R$\sqrt{\frac{8}{3}}$

B. AB = R$\sqrt{3}$

C. AB = R$\sqrt{2}$

D. AB = $\frac{3R}{2}$

Hình chóp S.ABC có $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = 60°; SA = a\sqrt{2}, SB = a\sqrt{3}, SC = 2a$. Tính thể tích V của SABC.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

Tam giác SAC vuông cân tại S và tam giác đều ABC cạnh a được đặt trên hai mặt phẳng vuông góc. Tính khoảng cách h từ SB đến SC.

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

C. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Hình chóp SABC có SA$\perp$(ABC), tam giác ABC đều có cạnh 2a, SA = a$\sqrt{3}$. Tính khoảng cách h từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = a$\sqrt{\frac{2}{3}}$

B. h = a$\sqrt{\frac{3}{2}}$

C. h = a

D. h = a$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a có diện tích là:

A. S = $4{\mathrm{\pi a}}^2$

B. S = $2\sqrt{2}{\mathrm{\pi a}}^2$

C. S = $2{\mathrm{\pi a}}^2$

D. S = $\frac{3{\mathrm{\pi a}}^2}{2}$

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có thể tích V bằng bao nhiêu nếu biết thể tích tứ diện AB'CD' bằng $\frac{a^3}{2}$?

A. 2$a^3$

B. $\frac{3a^3}{2}$

C. 3$a^3$

D. $a^3$

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Tính góc $\alpha$ giữa (A’B’C’) và (A’CD’).

A. $\alpha$ = 30$°$

B. $\alpha$ = 45$°$

C. $\alpha$ = 60$°$

D. $\alpha$ = 90$°$

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ h giữa BD và SC.

A. h = $\frac{a}{2}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

D. h = $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Gọi V là thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và V₀ là thể tích của phần hình hộp nằm ở giữa 2 mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). Tính k = $\frac{V_0}{V}$

A. k = $\frac{1}{2}$

B. k = $\frac{2}{3}$

C. k = $\frac{1}{3}$

D. k = $\frac{3}{4}$

Hình chóp SABC có $∆$ASB đều cạnh a, (SBC)$\perp$(ABC). Tính khoảng cách h từ S xuống mp (ABC).

A. h = $\frac{a}{2}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. h = $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích S của $∆$A'BC.

A. S = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

B. S = $\frac{a^2\sqrt{5}}{4}$

C. S = $\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$

D. S = $\frac{3a^2}{4}$

Hình chóp tam giác đều SABC có AB = a, (SC;(ABC)) = 60$°$. Tính thể tích V của SABC

A. V = $\frac{a^3}{4}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. V = $\frac{a^3}{12}$

Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có AA' = $\frac{a}{2}, ∆$ABC đều cạnh a. Tính diện tích S của $∆$A'BC.

A. S = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

B. S = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. S = $\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

D. S = $\frac{a^2}{2}$

Hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = a$\sqrt{2}$ và khoảng cách (D,(AD'C)) = $\frac{\sqrt{2}a}{3}$. Tính AA’.

A. AA' = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

B. AA' = $a\sqrt{3}$

C. AA' = a

D. AA' = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi, $∆$BCD là $∆$đều cạnh a, tâm H. Biết SH$\perp$(ABCD) và $∆$SAC vuông tại S. Tính thể tích V của SABCD.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. V = $\frac{a^3}{3}$

Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a. Cho tứ giác ABCD quay quanh AD tạo thành khối tròn xoay có thể tích V. Tính V.

A. V = $\frac{3{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{4}$

B. V = ${\mathrm{\pi a}}^3$

C. V = ${\mathrm{\pi a}}^3$$\sqrt{2}$

D. V = $\frac{7{\mathrm{\pi a}}^3}{8\sqrt{3}}$

Cho tứ diện ABCD. M thuộc đoạn AB và AM = $\frac{1}{3}$AB. Gọi ($\alpha$) là mặt phẳng qua M, ($\alpha$)// AC, ($\alpha$)// BD. Gọi $V_1, V_2$ là 2 phần thể tích tứ diện được chia ra bởi ($\alpha$). Tính k = $\frac{V_1}{V_2}$ (V₁ là thể tích đa diện có chứa đỉnh A).

A. k = $\frac{5}{9}$

B. k = $\frac{1}{3}$

C. k = $\frac{12}{15}$

D. k = $\frac{7}{20}$

Hình chóp SABC có $∆$SAB, $∆$SBC là các tam giác đều cạnh a, mp(SAC)$\perp$mp(ABC). Tính AC.

A. AC = 2a.

B. AC = a$\sqrt{3}$.

C. AC = a$\sqrt{2}$.

D. AC = a.

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a$\sqrt{2}$. Tính thể tích V của A'BB'D.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. V = $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

C. V = $a^3\sqrt{2}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a. Biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{55}}{10}$

C. $\frac{3\sqrt{5}}{10}$

Cho hình chóp S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = 3 và $\widehat{ASB} = 60°, \widehat{BSC} = 120°, \widehat{CSA} = 90°$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{6}$

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt $\overrightarrow{AA\text{'}} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$. Gọi I là điểm thuộc CC' sao cho $\overrightarrow{C\text{'}I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{C\text{'}C}$ , điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}} = \overrightarrow{0}$ . Biểu diễn véc tơ $\overrightarrow{IG}$ qua véc tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\right)$

B. $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)$

C. $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)$

D. $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)$

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 2018. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB'D') chia khối chóp ABCD.A'B'C'D' thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A

A. $\frac{5045}{6}$

B. $\frac{7063}{6}$

C. $\frac{10090}{17}$

D. $\frac{7063}{12}$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD', DB sao cho AM = DN = x; (0 < x < a$\sqrt{2}$). Khi x thay đổi, đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?

A. (CB'D')

B. (A'BC)

C. (AD'C)

Cho tam giác có A(1;-1), B(3;-3), C(6;0). Diện tích $∆$ABC là

A. 6

B. 6$\sqrt{2}$

C. 12

D. 8

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SA = 2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A. $\frac{a^3}{3}$

B. $\frac{a^3}{6}$

C. $\frac{a^3}{4}$

D. $\frac{a^3}{5}$

Cho hình chóp SABC có A', B' lần lượt là trung điểm của SA, SB. Gọi $V_1, V_2$ lần lượt là thể tích của khối chóp SA'B'C và SABC. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{3}$

Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA = 3a, SB = 4a, SC = 5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện S.ABC

A. V = 20$a^3$

B. V = 10$a^3$

C. $\frac{5a^3}{2}$

D. 5$a^3$

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA$\perp$(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính $\frac{50V\sqrt{3}}{a^3}$ , với V là thể tích khối chóp A.BCMN

A. 10

B. 12

C. 9

D. 11

Trong một đợt tổ chức cho học sinh tham gia dã ngoại ngoài trời. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, các bạn học sinh đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m) (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

A. x = $3\sqrt{3}$

B. x = $3\sqrt{2}$

C. x = 2

D. x = 4