Cho Ax, By là hai nửa đường thẳng chéo nhau vuông góc với nhau. Trên Ax lấy D, By lấy C biết AD = BC, AB là đường vuông góc chung của Ax, By và AB = a, CD = 3a. Tính thể tích V của ABCD.

A. V = $\frac{a^3}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

D. V = $\frac{2a^3}{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có SA$\perp$(ABCD), đáy ABCD là hình bình hành có AB$\perp$AC. Biết SA = AD = a. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SCD).

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. h = $a\sqrt{\frac{3}{7}}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Hình chóp S.ABC có $∆$ABC đều cạnh a. SA$\perp$(ABC). Tính độ dài SA theo a biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60$°$.

A. SA = $\frac{a}{2}$

B. SA = $\frac{3a}{2}$

C. SA = a

D. SA = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Cho tứ diện ABCD, trên AB lấy điểm M sao cho AM = $\frac{1}{3}AB$. Gọi $V_1, V_2$  là các phần thể tích thuộc tứ diện được chia ra bởi mặt phẳng ($\alpha$) đi qua M,  ($\alpha$) // AC và ($\alpha$)  // BD. Tính $\frac{V_1}{V_2}$ .

A. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{1}{3}$

B. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{4}{9}$

C. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{8}{27}$

D. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{7}{20}$

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = 2a, AD = 3a. Gọi V là phần thể tích thuộc hình hộp nằm ở khoảng giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (B'CD'). Tính V.

A. V = 4$a^3$

B. V = 3$a^3$

C. V = 2$a^3$

D. V = $a^3$

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\widehat{ACB} = 30°$, AB = a; $∆$A'AC đều và (AA'C'C)$\perp$(A'B'C'). Tính thể tích V của lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. V = $\frac{3a^3}{2}$

B. V = $a^3\sqrt{3}$

C. V = $\frac{2a^3}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các mặt bên của mình chóp là các tam giác đều. Tính đường cao SH của hình chóp đó.

A. SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

B. SH = $\frac{a}{2}$

C. SH = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. SH = $a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Tứ diện ABCD là tứ diện đều nội tiếp trong mặt cầu bán kính R. Tính độ dài của cạnh tứ diện đều theo R

A. R$\sqrt{2}$

B. R$\sqrt{3}$

C. $\frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{R\sqrt{6}}{2}$

Cho hình chóp S.ABCD có SA$\perp$(ABCD); ABCD là hình vuông. Biết SA = a, AB = a$\sqrt{2}$. Tính khoảng cách h giữa BD,SC

A. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

C. h = $\frac{a}{\sqrt{5}}$

D. h = $\frac{2a}{\sqrt{5}}$

Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a. Tính thể tích V của hình hộp đó biết $\widehat{BAD} = \widehat{DAA\text{'}} = \widehat{BAA\text{'}} = 60°$

A. V = $\frac{a^3}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và hai mặt bên SAB, SAC là các tam giác vuông tại A. Biết SB = SC = a$\sqrt{2}$, BC = a, tính thể tích V của S.ABC.

A. V = $\frac{a^3}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a; các mặt bên tạo với mặt đáy góc 60°. Tính độ dài l của cạnh bên hình chóp.

A. l = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$

B. l = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. l = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. l = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Hình chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều ABC, AB = a; góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45°. Tính thể tích V của hình chóp.

A. V = $\frac{a^3}{12}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{24}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{36}$

Hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC); SA = AB = AC = a, $\widehat{BAC} = 120°$. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

C. h = $\frac{a}{\sqrt{5}}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', biết diện tích DB'D'C bằng $a^2\sqrt{3}$. Tính thể tích hình lập phương đó theo a.

A. V = $2a^3\sqrt{2}$

B. V = $a^3$

C. V = 8$a^3$

D. V = 3$a^3$$\sqrt{3}$

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = AB = a, AD = 2a. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (B’D’C)

A. h = a

B. h = $\frac{2a}{3}$

C. h = $\frac{3a}{2}$

D. h = $\frac{4a}{3}$

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'; M, N lần lượt là trung điểm A'B' và A’C’. Gọi V₁, V₂ là thể tích của hai phần lăng trụ bị chia ra bởi mặt phẳng (BCNM). Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

A. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{5}{7}$

B. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{3}{4}$

C. $\frac{V_1}{V_2}$ = 1

D. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{1}{2}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và (SAB) ^ (ABC); SA = a; $\widehat{SAB} = 60°$ . Tính thể tích V của S.ABC

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

D. V = $\frac{a^3}{2}$

Tính thể tích lăng trụ AB.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a và A’B, A’C, A’A đôi một vuông góc

A. V = $\frac{a^3}{4\sqrt{2}}$

B. V = $\frac{a^3}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

D. V = $\frac{a^3}{4}$

Tính thể tích V của hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a

A. V = $\frac{a^3}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Trong các hình chóp lục giác đều nội tiếp trong mặt cầu bán kính bằng 1 thì hình chóp có thể tích V_max bằng bao nhiêu?

A. V_{max$=\frac{16\sqrt{3}}{27}$}

B. V_{max$=\frac{\sqrt{3}}{2}$}

C. V_{max$=\sqrt{3}$}

D. V_{max$=\frac{4}{3}$}

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Chọn khẳng định đúng

A. a = 60$°$

B. a = 90$°$

C. cos a = $\frac{1}{3}$

D. cos a = $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng V. Chọn trong các tứ diện sau, tứ diện nào có thê tích bằng $\frac{V}{3}$

A. A’BCD

B. A’BC’D

C. A’B’C’D

D. ABC’D

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Điểm H thuộc đoạn AC và AH = $\frac{1}{4}$AC. Biết SH ^ (ABC) và $\widehat{ASC}$  = 90°. Tính thể tích V của S.ABC

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{18}$

C. V = $\frac{a^3}{12}$

D. V = $\frac{a^3}{16}$

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' có AB = AD = a, AA' = a$\sqrt{2}$. Tính khoảng cách h từ D xuống mặt phẳng (BCD').

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

B. h = $a\sqrt{\frac{2}{3}}$

C. h = $\frac{a}{3}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AA' = a$\sqrt{3}$, AB = a. Gọi M là trung điểm BC. Tính thể tích V của hình chóp AMB’C’.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. V = $\frac{a^3}{3}$

C. V = $\frac{a^3}{4}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AD = 2a, AB = BC = a, SA$\perp$(ABCD), SA = a$\sqrt{2}$. Tính thể tích V của hình chóp S.ABD.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

C. V = $\frac{a^3}{3}$

D. V = $\frac{a^3}{\sqrt{6}}$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính diện tích $∆$A'BD.

A. $S_{∆A\text{'}BD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

B. $S_{∆A\text{'}BD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

C. $S_{∆A\text{'}BD} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

D. $S_{∆A\text{'}BD} = \frac{a^2\sqrt{2}}{3}$

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = $\frac{a}{2}$. Tính diện tích $S_{A\text{'}BC}$  của tam giác A'BC

A. $S_{A\text{'}BC}$ = $\frac{a^2}{2}$

B. $S_{A\text{'}BC}$ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

C. $S_{A\text{'}BC}$ = $\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

D. $S_{A\text{'}BC}$ = $a^2$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các đoạn SA, SD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SD} = \frac{2}{3}$ . Đặt k = $\frac{V_1}{V}$ với $V_1$  là thể tích SBCNM, V là thể tích của S.ABCD. Tìm k.

A. k = $\frac{4}{9}$

B. k = $\frac{5}{9}$

C. k = $\frac{8}{27}$

D. k = $\frac{2}{3}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và SA$\perp$(ABC). Biết SA = BC = a, AB = a$\sqrt{3}$, tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. h = $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Cho tam giác vuông cân SAB và hình chữ nhật ABCD được đặt trên hai mặt phẳng vuông góc, M là trung điểm CD. Biết SA = SB = SC = a. Tính thể tích V của hình chóp S.ABM.

A. V = $\frac{a^3}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

D. V = $\frac{a^3}{6}$

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Biết $\widehat{BAC} = 120°$, tính thể tích V của hình lăng trụ

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. V = $\frac{a^3}{3}$

D. V = $a^3$

Hình chóp SABCD có ABCD là hình bình hành. Trên SB, SD lấy M, N sao cho $\frac{SM}{SB} = \frac{SN}{SD} = \frac{2}{3}$. Gọi E = (AMN)$\cap$SC. Biết $V_{S.ABCD}$ = 9. Tính $V_{S.AMEN}$.

A. $V_{S.AMEN}$ = 3.

B. $V_{S.AMEN}$ = 2.

C. $V_{S.AMEN}$ = 4.

D. $V_{S.AMEN}$ = 1.

Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại A; AB = a$\sqrt{3}$; BC = 2a. Biết AA' = A'B = A'C = a$\sqrt{3}$. Tính thể tích V của hình lăng trụ.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$

D. V = $a^3\sqrt{2}$

Hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); tam giác ABC đều cạnh 2a; góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 45$°$. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = a$\sqrt{\frac{2}{3}}$

B. h = a$\sqrt{\frac{3}{2}}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AC = $\sqrt{3}$a; AB' = 2a; AD' = $\sqrt{5}$a (a > 0). Tính thể tích tứ diện ABDA'.

A. V = $\frac{a^3}{\sqrt{6}}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$

C. V = $a^3\sqrt{\frac{2}{3}}$

D. V = $\frac{a^3}{3}$

Cho (S): ${\left(x-1\right)}^2 + {\left(y+2\right)}^2 + {\left(z-3\right)}^2$ = 4 và A(2; -1; 2); B(1; 0; 4). Khi đó:

A. (S) và đường thẳng AB tiếp xúc.

B. Đường thẳng AB đi qua tâm (S).

C. Đường thẳng AB không cắt (S).

D. Đoạn AB và (S) có đúng 1 điểm chung

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách h giữa SA và BD.

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

C. h = $\frac{2a}{3}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 2a, thể tích bằng $a^3\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách h từ A đến (A’BC).

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. h = $\frac{a}{2}$

D. h = $\frac{2a}{\sqrt{3}}$