Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các đoạn SA, SD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SD} = \frac{2}{3}$ . Đặt k = $\frac{V_1}{V}$ với $V_1$  là thể tích SBCNM, V là thể tích của S.ABCD. Tìm k.

A. k = $\frac{4}{9}$

B. k = $\frac{5}{9}$

C. k = $\frac{8}{27}$

D. k = $\frac{2}{3}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và SA$\perp$(ABC). Biết SA = BC = a, AB = a$\sqrt{3}$, tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. h = $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Cho tam giác vuông cân SAB và hình chữ nhật ABCD được đặt trên hai mặt phẳng vuông góc, M là trung điểm CD. Biết SA = SB = SC = a. Tính thể tích V của hình chóp S.ABM.

A. V = $\frac{a^3}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

D. V = $\frac{a^3}{6}$

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Biết $\widehat{BAC} = 120°$, tính thể tích V của hình lăng trụ

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. V = $\frac{a^3}{3}$

D. V = $a^3$

Hình chóp SABCD có ABCD là hình bình hành. Trên SB, SD lấy M, N sao cho $\frac{SM}{SB} = \frac{SN}{SD} = \frac{2}{3}$. Gọi E = (AMN)$\cap$SC. Biết $V_{S.ABCD}$ = 9. Tính $V_{S.AMEN}$.

A. $V_{S.AMEN}$ = 3.

B. $V_{S.AMEN}$ = 2.

C. $V_{S.AMEN}$ = 4.

D. $V_{S.AMEN}$ = 1.

Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại A; AB = a$\sqrt{3}$; BC = 2a. Biết AA' = A'B = A'C = a$\sqrt{3}$. Tính thể tích V của hình lăng trụ.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$

D. V = $a^3\sqrt{2}$

Hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); tam giác ABC đều cạnh 2a; góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 45$°$. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = a$\sqrt{\frac{2}{3}}$

B. h = a$\sqrt{\frac{3}{2}}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AC = $\sqrt{3}$a; AB' = 2a; AD' = $\sqrt{5}$a (a > 0). Tính thể tích tứ diện ABDA'.

A. V = $\frac{a^3}{\sqrt{6}}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$

C. V = $a^3\sqrt{\frac{2}{3}}$

D. V = $\frac{a^3}{3}$

Cho (S): ${\left(x-1\right)}^2 + {\left(y+2\right)}^2 + {\left(z-3\right)}^2$ = 4 và A(2; -1; 2); B(1; 0; 4). Khi đó:

A. (S) và đường thẳng AB tiếp xúc.

B. Đường thẳng AB đi qua tâm (S).

C. Đường thẳng AB không cắt (S).

D. Đoạn AB và (S) có đúng 1 điểm chung

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách h giữa SA và BD.

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

C. h = $\frac{2a}{3}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 2a, thể tích bằng $a^3\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách h từ A đến (A’BC).

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. h = $\frac{a}{2}$

D. h = $\frac{2a}{\sqrt{3}}$

Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a; các góc phẳng tại A đều bằng 60°. Tính thể tích V của tứ diện AB’CD’.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Hai tam giác đều ABC và SBC, cạnh a được đặt trong 2 mặt phẳng vuông góc. Tính $V_{SABC}$ .

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3}{8}$

D. V = $\frac{a^3}{6}$

Hình chóp SABCD có SA$\perp$(ABC). Biết d(SA,BC) = a, SA = a$\sqrt{3}$. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC)

A. h = $\frac{a}{2}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. h = $a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Lăng trụ $∆$ABC.A'B'C' có các góc phẳng tại đỉnh B đều bằng 60$°$, $∆$ABC vuông tại A, BB' = a, BC = 2a. Tính thể tích V của lăng trụ.

A. V = $a^3$

B. V = $\frac{2a^3}{3}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Hình chóp tứ giác đều $S_{ABCD}$ có AB = a; góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60$°$. Tính diện tích xung quanh ($S_{xq}$) của hình chóp

A. $S_{xq}$ = 2$a^2\sqrt{2}$

B. $S_{xq}$ = $a^2\sqrt{3}$

C. $S_{xq}$ = 2$a^2\sqrt{3}$

D. $S_{xq}$ = 2$a^2$

Tứ diện ABCD có CD = a$\sqrt{2}$, các cạnh còn lại đều bằng a. Tính $V_{ABCD}$

A. V = $\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

B. V = $\frac{a^3}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{8}$

D. V = $\frac{a^3}{12}$

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AC = a$\sqrt{3}$, AB' = 2a, AD' = a$\sqrt{5}$. Tính $V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}$.

A. V = $\frac{2a^3\sqrt{15}}{3}$

B. V = $a^3\sqrt{6}$

C. V = $a^3\sqrt{15}$

D. V = $2a^3$

Hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, SA tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 30$°$. Tính khoảng cách h từ SA đến BC.

A. h = $\frac{3a}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

C. h = $\frac{a}{2}$

D. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB = AC = AA' = a, $\widehat{BAC} = \widehat{BAA\text{'}} = \widehat{CAA\text{'}} = 60°$. Tính thể tích V tứ diện AB'CC' theo a.

A. V = $\frac{a^3}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3}{4}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng B'D' và C'D.

A. $\alpha$ = 30$°$

B. $\alpha$ = 45$°$

C. $\alpha$ = 60$°$

D. $\alpha$ = 90$°$

Bát giác đều có thể tích bằng 1 có tất cả các đỉnh đều thuộc mặt cầu (S). Tính thể tích V của (S).

A. V = $\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

B. V = 4$\mathrm{\pi }$

C. V = $\mathrm{\pi }$

D. V = $\mathrm{\pi }$$\sqrt{2}$

Hình chóp S.ABC có SA$\perp$(ABC), tam giác ABc đều cạnh a và góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng (ABC) bằng 60$°$. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. h = a$\sqrt{\frac{2}{3}}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

C. h = $\frac{a}{2}$

D. h = $\frac{3a}{4}$

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D có AB = AA' = 2a, AD = a. Tính khoảng cách h từ C' tới mặt phẳng (A'BD)

A. h = $\frac{2a}{3}$

B. h = $\frac{a}{3}$

C. h = $\frac{4a}{\sqrt{6}}$

D. h = $\frac{3a}{4}$

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AB = a, AC = 2a, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45$°$. Tính $V_{S.ABCD}$

A. $V_{S.ABCD}$ = $a^3$

B. $V_{S.ABCD}$ = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $V_{S.ABCD}$ = $\frac{4a^3}{3}$

D. $V_{S.ABCD}$ = $\frac{a^3}{2}$

Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách h từ C' đến (A'B'C').

A. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

B. h = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

C. h = $a\sqrt{\frac{3}{7}}$

D. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA$\perp$(ABCD). Hạ AE$\perp$SB, AF$\perp$SD. Khi đó 5 điểm B, C, D, E, F cùng thuộc mặt cầu: 

A. Đường kính SA.

B. Đường kính AC.

C. Đường kính SC.

D. Cả A, B, C đều sai.

Hình chóp S.ABC có (SBC)$\perp$(ABC), tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S. Tính khoảng cách h từ SA đến BC theo a.

A. h = $\frac{a}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

D. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Hình chóp S.ABC có AB = AC = a, $\widehat{BAC} = 120°$, SA$\perp$(ABC) và $V_{S.ABC} = \frac{a^3}{8}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa (SBC) và (ABC). Tính cos$\alpha$.

A. cos$\alpha$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 

B. cos$\alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

C. cos$\alpha$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

D. cos$\alpha$ = $\frac{1}{2}$ 

Hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) bằng 45$°$. Tính thể tích V của S.ABC.

A. V = $\frac{a^3}{12}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D. V = $\frac{a^3}{6}$

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', biết AB = 2AD và tổng diện tích 6 mặt bằng 12, thì hình hộp có thể tích lớn nhất ($V_{max}$) bằng bao nhiêu?

A. $V_{max}$ = $\frac{8}{3}$

B. $V_{max}$ = $2\sqrt{2}$

C. $V_{max}$ = 3

D. $V_{max}$ = $\frac{10}{3}$

Tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với AB = BC = CD = a. Tính khoảng cách h giữa BC và AD

A. h = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. h = $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Tính thể tích V của hình bát giác đều có cạnh bằng a

A. V = $\frac{2a^3}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

C. V = $\frac{a^3}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Hai tam giác vuông cân ABC và ABE (đều cân tại A), AE = a. Tính khoảng cách từ A tới (BCE). Biết (ABC) vuông góc với (ABE).

A. h = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Tứ diên đềụ ABCD có thể tích V = $\sqrt{\frac{8}{9}}$. Tính AB

A. AB = 1.

B. AB = 2.

C. AB = $\sqrt{2}$

D. AB = $\sqrt{3}$

Hình chóp SABC, đáy ABCD là hình bình hành; (α) là mặt phẳng chứa A và trung điểm M của SC, (α) // BD. Biết (α) chia SABCD thành 2 phần có thể tích V₁, V₂ (V₁ là thể tích bé hơn). Tính $\frac{V_1}{V_2}$

A. $\frac{V_1}{V_2}$ = 1.

B. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{1}{3}$.

D. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{1}{4}$.

Hình chóp S.ABC có SA$\perp$(ABC), AB = 2a, AC = 3a, $\widehat{BAC} = 60°$m góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 45°. Tính khoảng cách h từ A xuống (SBC).

A. h = a$\sqrt{\frac{27}{14}}$

B. h = a$\sqrt{\frac{7}{2}}$

C. h = $\frac{3a}{\sqrt{2}}$

D. h = $\frac{6a}{\sqrt{2}}$

Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AC = a$\sqrt{3}$, AD' = 2a, AB' = a$\sqrt{5}$. Tính thể tích V của hình hộp.

A. V = $2a^3\sqrt{15}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$

C. V = $a^3\sqrt{6}$

D. V = $3a^3$

Hình chóp tứ giác đều SABCD có AB = a; góc (SC, (ABCD) = 30°. Tính khoảng cách h từ điểm S đến (ABCD)

A. h = a$\sqrt{\frac{2}{3}}$

B. h = a$\sqrt{\frac{3}{2}}$

C. h = $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

D. h = $\frac{a}{\sqrt{6}}$

Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua M (1; 2; 3). Biết (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C. Tìm GTNN của thể tích OABC (V_min).

A. V_min = 24.

B. V_min = 27.

C. V_min = $9\sqrt{14}$

D. V_min = 36.