Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1+3t\end{array}, d\text{'}: \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+2t\\ z=-2t\end{array}\right.\right.$và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), cắt d và d' có phương trình là

A. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}$ 

B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-4}$

C. $\frac{x+2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$

D. $\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-4}{2}$

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;4) và hai điểm M, B thoả mãn $MA.\overrightarrow{MB}+MB.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. Giả sử điểm M thay đổi trên đường thẳng $d: \frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{1}$. Khi đó điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là:

A. $\frac{x+7}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+12}{1}$

B. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{1}$

C. $\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$

D. $\frac{x-3}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-12}{1}$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình 2x - 2y + z + 15 = 0 và mặt cầu (S): ${(x-2)}^2+{(y-3)}^2+{(z-5)}^2=100$. Đường thẳng qua $∆$, nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt (S) tại M, N. Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng $∆$ là

A. $\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6}$

B. $\frac{x+3}{16}=\frac{y-3}{11}=\frac{z+3}{-10}$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=-3+5t\\ y=3\\ z=-3+8t\end{array}\right.$

D. $\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+3}{3}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $∆: \frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$ (P): x + 2y - 3z + 4 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc đường thẳng $∆$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}x= -2+2t\\ y=1-t\\ z=1+t\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=-2+3t\\ z=-1+t\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=-3-3t\\ y=1+2t\\ z=1+t\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=-3+t\\ y=1-2t\\ z=1-t\end{array}\right.$

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-2}{1}$. Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) có phương trình là

A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+1}{5}$

B. $\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{-1}$

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{-5}$

D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+5}{1}$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{2m+1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+1}{m-2}$ và mặt phẳng (P) :  x + y +z - 6 = 0. Gọi đường thẳng $∆$ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P) . Có bao nhiêu số thực m để đường thẳng $∆$ vuông góc với giá của véctơ $\overrightarrow{a}$= (-1;0;1)?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ qua A, vuông góc và cắt d là:

A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{2}$

B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$

C. $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$

D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-2}{1}$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{-2}$và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0, phương trình đường thẳng  $∆$ nằm trong mặt phẳng (P), cắt d và vuông góc với d là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=1-5t\\ z=-5-6t\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=-2-2t\\ y=-1-5t\\ z=5-6t\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=-2-2t\\ y=-1+5t\\ z=5-8t\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=-2-2t\\ y=1-5t\\ z=5+6t\end{array}\right.$

Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường vuông góc chung $∆$ của hai đường thẳng$d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2}, d_2:\left\{\begin{array}{l}x=-3t\\ y=t\\ z=-1-3t\end{array}\right.$

A. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-4}{-2}$

B. $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{1}$ 

C. $\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{-1}$

D. $\frac{x}{1}=\frac{y}{6}=\frac{z+1}{1}$

Trong không gian Oxyz, cho M(2;3;-1) và đường thẳng d: $\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$. Đường thẳng qua M vuông góc với d và cắt d' có phương trình là

A. $\frac{x-2}{5}=\frac{y-3}{6}=\frac{z+1}{32}$

B. $\frac{x-2}{6}=\frac{y-3}{-5}=\frac{z+1}{32}$

C. $\frac{x-1}{5}=\frac{y-3}{6}=\frac{z-1}{32}$

D. $\frac{x-2}{6}=\frac{y-3}{5}=\frac{z+1}{32}$

Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua M(1;2;-1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + y - z -8 = 0, (Q): 2x - y + 5z - 3 = 0 có phương trình là

A. $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z+1}{-3}$

B. $\frac{x-2}{4}=\frac{y-2}{7}=\frac{z+1}{-3}$

C. $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{7}=\frac{z+1}{3}$

D. $\frac{x+1}{2}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z+1}{1}$

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: $\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): x + y - 3z - 2 = 0. Gọi  là đường thẳng nằm trong (P), cắt và vuông góc với d. Đường thẳng d' có phương trình là

A. $\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{5}=\frac{z+1}{2}$

B. $\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{5}=z+1$

C. $\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{-5}=\frac{z+1}{-1}$

D. $\frac{x+1}{2}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z+1}{1}$

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua

A(1;2;4) song song với (P): 2x + y + z - 4 = 0  và cắt đường thẳng

$d: \frac{x-2}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{5}$  có phương trình:

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2\\ z=4-2t\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2\end{array}\\ z=4+2t\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=2\end{array}\\ z=4+4t\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2\end{array}\\ z=2t\end{array}\right.$

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm M(3;1;1), nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ : x + y - z = 0 và tạo với đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}\right.$một góc nhỏ nhất thì phương trình của $∆$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=1\\ y=-t\text{'}\end{array}\\ z=2t\text{'}\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=8+5t\text{'}\\ y=-3-4t\text{'}\end{array}\\ z=2+t\text{'}\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=1+t\text{'}\\ y=1-t\text{'}\end{array}\\ z=3-2t\text{'}\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=1+5t\text{'}\\ y=1-4t\text{'}\end{array}\\ z=3+2t\text{'}\end{array}\right.$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;0;1), B(-2;1;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là

A. x - y +2= 0

B. x + y + 1 = 0

C. -x + y +1 = 0

D. x - y -2 = 0

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-4;2;-1) và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=3-t\\ z=t\end{array}\right.$. Gọi A'(a;b;c) là điểm đối xứng với A qua d. Tính a + b + c.

A. -2

B. -1

C. 1

D. 5

Trong không gian Oxyz, điểm M' đối xứng với điểm M(1;2;4) qua mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: 2x + y + 2z - 3 = 0 có tọa độ là

A. (-3;0;0)

B. (-1;1;2)

C. (1;1;4)

D. (2;1;2)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;0;0) , B(1;-4;0), C(0;-2;6) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: x + 2y + z- 5 = 0. Gọi H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC lên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Tính P = a - b + c.

A. 5

B. -3

C. 3

D. -1

Trong không gian Oxyz, hình chiếu của điểm M(2;3;-2) trên trục Oy có tọa độ là

A. (0;0;-2)

B. (2;0;-2)

C. (0;3;0)

D. (2;0;0)

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: $\frac{x-12}{4}=\frac{y-12}{5}=\frac{z-1}{4}$và mặt phẳng (P): 3x + 5y - z = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

A. (1;0;1)

B. (1;1;6)

C. (12;0;9)

D. (0;0;2)

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=3+2t\end{array}\\ z=-1-t\end{array}\right.$ 

và $d_2:\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=7+3s\\ y=1-s\end{array}\\ z=5-s\end{array}\right.$.Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng

A. $\sqrt{31}$

B. $6\sqrt{2}$

C. $\sqrt{62}$

D. $4\sqrt{2}$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{2}$ 

và $d_2: \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}$. Mặt phẳng (P) : x + ay + bz + c = 0 song song

với $d_1, d_2$ và khoảng cách từ $d_1$ đến (P) bằng 2 lần khoảng cách từ $d_2$ đến (P).

Giá trị của a + b + c bằng

A. 6

B. 14

C. -4

D. -6

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y +2z - 10 = 0 và mặt phẳng (Q): x + 2y + 2z - 3 = 0 bằng

A. 2

B. $\frac{7}{3}$

C. 3

D. $\frac{4}{3}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $∆: \left\{\begin{array}{l}x=2+(m^2-2m)t\\ y=5-(m-4)t\\ z=7-2\sqrt{2}\end{array}\right.$ điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng denta có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của tập S là.

A. 3

B. $\frac{5}{3}$

C. $\frac{7}{3}$

D. $\frac{3}{5}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;3) và mặt phẳng (P): x + my + (2m + 1) - m - 2 = 0. Gọi H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (P)  Khi khoảng cách từ điểm  A đến  (P) lớn nhất, tính a + b

A. 2

B. 1

C. $\frac{3}{2}$

D. 0

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S): $x^2+y^2+{(z-1)}^2=25$ và (S'): ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2=1$ . Mặt phẳng (P) tiếp xúc (S') và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6$\pi$ . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) bằng

A. $\frac{8}{9}$

B. $\frac{14}{3}$

C. 19

D. $\frac{19}{2}$

Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}$. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến  (P) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M(1;2;-1) đến (P) bằng

A. $3\sqrt{2}$

B. $\frac{\sqrt{11}}{18}$

C. $\sqrt{11}$

D. $\frac{11\sqrt{18}}{18}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A(0;0;0), D(2;0;0), B(0; 4;0).

A. 2

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $2\sqrt{2}$

D. $\sqrt{2}$

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, AB = $a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') là

A. $\frac{a\sqrt{7}}{3}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$

Trong không gian Oxyz, cho biết có hai mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng d: $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-1}$, tiếp xúc đồng thời với 2 mặt phẳng: $\left(\alpha \right)$: x+2y-2z+1=0 và $\left(\beta \right)$: 2x-3y-6z-2=0. Gọi $R_1, R_2 (R_1 >R_2)$ là bán kính 2 mặt cầu đó. Tỉ số $\frac{R_1}{R_2}$ bằng

A. $\sqrt{2}$

B. 3

C. 2

D. 4

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x - 2y + z +5 = 0 và đường thẳng $∆$ có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x = -1 + t\\ y = 2 - t\end{array}\\ z = -3 -4t\end{array}\right.$.Khoảng cách giữa đường thẳng $∆$ và (P) là

A. $\frac{-4}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. 4

D. $\frac{4}{9}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1;-2; 3). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

A. $\frac{7}{3}$

B. 2

C. $\frac{\sqrt{14}}{2}$

D. 1

Trong không gian cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 4 = 0. Khoảng cách d từ điểm M (3; 1; -2) đến mặt phẳng (P) bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. 2

C. 3

D. 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y +z + 4 = 0. Tính khoảng cách d từ điểm M(1;2;1) đến mặt phẳng (P)

A. 2

B. 2

C. 1

D. 4

Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P): 2x - y +2z +5 = 0 và (Q): x - y + 2 = 0. Trên (P) cho tam giác ABC, gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên (Q). Biết tam giác ABC có diện tích bằng 4. Tính diện tích tam giác A'B'C'.

A. 3

B. $2\sqrt{2}$

C. 2

D. $4\sqrt{2}$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-10; -5;8), B(2;1;-1), C(2;3;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0. Xét M là điểm thay đổi trên (P) sao cho $M{A}^2+2M{B}^2+3M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.Tính $M{A}^2+2M{B}^2+3M{C}^2$.

A. 54

B. 282

C. 265

D. 328 

Cho 3 điểm A(1;2;0), B(1;0-1), C(0;-1;2). Tam giác ABC là

A. tam giác vuông đỉnh A.

B. Tam giác đều

C. Tam giác cân đỉnh A

D. Tam giác có 3 góc nhọn

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc

cạnh bên SD = $a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho $\overrightarrow{HD}$ = -3$\overrightarrow{HB}$. Gọi M là

trung điểm của cạnh SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

CM và SB.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa

hai đường thẳng AC và A’D.

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

và SA = a. Đáy ABC thỏa mãn AB = $a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ).

Tìm số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).

A. ${30}^o$

B. ${45}^o$

C. ${90}^o$

D. ${60}^o$