Gọi $z_1$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^2 - 2z + 5 = 0$ Tìm tọa độ điểm biểu diễn cho số phức $\frac{7-4i}{z_1}$ trong mặt phẳng phức?

Cho f(x), f(-x) liên tục trên R và thỏa mãn $2f\left(x\right)+3f(-x)=\frac{1}{x^2+4}$ Tính $I={\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$. 

Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x\sqrt{\ln x}, x=e$ và trục hoành là

Cho số phức z thỏa mãn $z\left(1-2i\right) + \overline{z}i = 15 + i$ Tìm môđun của số phức z

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z\right| = 1$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \left|z+1\right|+2\left|z-1\right|$

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết $z_1 = w + 2i$ và $z_2 = 2w - 3$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+az+b = 0$. Tìm giá trị $T = \left|z_1\right| + \left|z_2\right|$

Số phức z = a + bi thỏa mãn $\left|z-2\right| = \left|z\right|$ và $\left(z+1\right)\left(\overline{z}-i\right)$ là số thực. Giá trị của biểu thức S = a + 2b bằng bao nhiêu?

A. S = -1

B. S = 1

C. S = 0

D. S = -3

Cho số phức z thỏa mãn $z(2-i) + 13i = 1$ Tính môđun của số phức z

Cho hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1-3i + 5\right| = 2$ và $\left|i{z}_2 - 1+ 2i\right| = 4$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \left|2i{z}_1 + 3z_2 \right|$

A. $\sqrt{313} + 16$

B. $\sqrt{313}$

C. $\sqrt{313} + 8$

D. $\sqrt{313} + 2\sqrt{5}$

Giải phương trình ${(4+\sqrt{15})}^{2x^2-5x} = {(4-\sqrt{15})}^{6-2x}$

Tính P = ${\log }_{2}16 + {\log }_{\frac{1}{4}}64.{\log }_{\sqrt{2}}2$

A. P = -2

B. P = 10

C. P = 1

D. P = -1

Có tất cả bao nhiêu cặp số thực (x,y) sao cho $x\in \left[-1;1\right]$ và $\ln {(x-y)}^x - 2017y + e^{2018}$. Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức $P = e^{2018} (y+1)x^2 - 2018x^2$ với $(x;y)\in S$ đạt được tại (x₀, y₀). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log(x+2y) = logx + logy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu $P = \sqrt[4]{e^{\frac{x^2}{1+2y}}}.e^{\frac{y^2}{1+2x}}$

Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình x.2^x = x(x - m +1) + m(2^x - 1) có hai phần tử.Tìm số phần tử của A.

A. 1

B. Vô số

C. 3

D. 2

Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn ${\log }_a^{2}b - 8{\log }_b\left(a\sqrt[3]{b}\right) = -\frac{8}{3}$. Tính giá trị biểu thức P = ${\log }_a\left(a\sqrt[3]{ab}\right) + 2017$

A. P = 2019

B. P = 2020

C. P = 2017

D. P = 2016

Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm $\mathrm{A(}2;0;0)$, $\mathrm{B(}0;2;0)$, $\mathrm{C(}0;0;2)$, $\mathrm{D(}2;2;2)$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là

Cho A (1; 4; 2), B (-1; 2; 4), đường thẳng $d:$$\left\{\begin{array}{l}x=5-4t\\ y=2+2t\\ z=4+t\end{array}\right.$ và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB 

Cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{1}$ và điểm A (1; 2; 1). Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0 

A. R=2

B. R=4

C. R=1

D. R=3

Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng vuông góc chung $∆$ của hai đường thẳng $d_1:$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2}$ và $d_2:$$\left\{\begin{array}{l}x=-3t\\ y=t\\ z=-1-3t\end{array}\right.$

Cho mặt phẳng (Q): x - y + 2z - 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), đồng thời cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N sao cho $MN=2\sqrt{2}$

Cho các đường thẳng $d_1$: $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$ và $d_2$: $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{2}$ . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A (1; 0; 2), cắt d₁ và vuông góc với d₂. 

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(-1; 4; 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = -5 và d = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho điểm A (1; 2; 3) và hai mặt phẳng (P) :2x + 2y + z +1 = 0, (Q) : 2x - y + 2z - 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; -1; 2), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y - 2z +1 = 0.

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+2}{3}$. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của d?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng $d_1: \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=t\end{array}\right.,t\in R$,   $d_2: \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=u\\ z=1+u\end{array}\right., u\in R$, $∆:\hspace{0.17em}\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ . Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả d₁, d₂ và có tâm thuộc đường thẳng ∆?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(−3;0;0), B(0;0;3), C(0; −3;0) và mặt phẳng (P): $x+y+z-3=0$. Tìm trên (P) điểm M sao cho $\left|\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC}\right|$ nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):\hspace{0.17em}2x+2y-z-3=0$và điểm I(1;2; −3). Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp (P) có phương trình:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1;2;0) và vuông góc với đường thẳng d: $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$có phương trình là: 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-2}$, vecto nào dưới dây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d?

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $\left(P\right): 2x-y+z-2=0$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( 1; −1;2) và  B(2;1;1). Độ dài đoạn AB bằng

A. 2

B. $\sqrt{6}$

C. $\sqrt{2}$

D. 6

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;−3) và B(3; −2; −1). Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là điểm

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right): 2x+3y-2z+12=0$. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của $\left(\alpha \right)$ với 3 trục tọa độ, đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với $\left(\alpha \right)$ có phương trình là

Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho $A\left(4;0;0\right), B\left(3;\sqrt{3};0\right)$, $C\left(1;\sqrt{3};0\right)$ và $S\left(0;0;1\right)$. Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông mà ba đỉnh tam giác đó đều là hình chóp S.OABC?

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right): x+3z+2=0$, $\left(Q\right):\hspace{0.17em}x+3z-4=0$. Mặt phẳng song song và cách đều $\left(P\right)$, $\left(Q\right)$ có phương trình là

Cho hai mặt phẳng $\left(P\right): x+2y-z+1=0$; $\left(Q\right): x-2y+z-4=0$. Biết $\left(∆\right)=\left(P\right)\cap \left(Q\right)$, tìm một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$ của $\left(∆\right)$.

Cho $\left(S_1\right):\hspace{0.17em}{\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=1$; $\left(S_2\right):\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+z^2=16$. Xác định vị trí tương đối giữa $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2=9$ và mặt phẳng $\left(P\right): 4x+2y+4z+7=0$. Hai mặt cầu có bán kính là $R_1$ và $R_2$ chứa đường tròn giao tuyến $\left(S\right)$ của $\left(P\right)$ và  đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng $\left(Q\right): 3y-4z-20=0$. Tổng $R_1$+ $R_2$ bằng

A. $\frac{65}{8}$

B. 5

C. $\frac{63}{8}$

D. $\frac{35}{8}$