Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;0) , B(2;-2;1) và (P): 4x + y + z - 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và tạo với mặt phẳng (P) một góc ${60}^o$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A (1; 2; ‒1), B (‒2; 1; 0). Điểm M (a; b; c) thuộc mặt phẳng  sao cho . Khi đó giá trị của a bằng?

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(-2;1;0),C(3;7;1) Viết phương trình mặt phẳng ABC.

A. 17x - 12y - 13z + 46 = 0

B. 17x - 12y - 13z - 46 = 0

C. 17x - 12y - 13z - 2 = 0

D. 17x - 12y - 13z - 80 = 0

Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m,n để phương trình $z^4+m{z}^2+n=0$không có nghiệm thực

Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa đường thẳng $\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{3}$   và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = 0

Cho khối chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, tam giác ABC vuông cân tại B, SA = AB = 6. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. 72

B. 108         

C. 36 

D. 216

Gọi M là điểm biểu diễn số phức $w=\frac{2z+\overline{z}+1-i}{z^2+i}$, trong đó z là số phức thỏa mãn $(1-i)(z-i)=2-i+z$ . Gọi N là điểmtrong mặt phẳng sao cho $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{ON})=2\rho$ , trong đó $\rho =(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})$ là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM. Điểm N nằm trong góc phần tư nào?

Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa mãn $\left|z^2+{\left(\overline{z}\right)}^2+2{\overline{z}}^2\right|=16$ là hai đường thẳng $d_1$,$d_2$. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng $d_1,d_2$ là bao nhiêu?

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng $a^3\sqrt{3}$. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a, thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, biết đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.

A. $2a\sqrt{3}$

B. $a\sqrt{3}$

C. $a$

D. $6a$

Hình chóp tam giác có số cạnh là:

A. 5

B. 3

C. 6

D. 4

Cho mặt cầu (S) có phương trình  và mặt phẳng (P): $x^2+y^2+z^2$- 2x - 2y + 4z + 2 = 0. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có giao nhau khi:

Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa $\left|z+2i-1\right|=\left|z+i\right|$. Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A(1;3)

Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $\left|\frac{(12-5i)z+17+7i}{z-2-i}\right|=13$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC), (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa đường thẳng nào sau đây

A. (SB,SO)          

B. (SB,BD)           

C. (SB,SA)           

D. (SO,BD)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y -2z - 1 = 0   và đường thẳng d: $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$ . Tọa độ giao điểm của d và  là

B. (1;0;0)

C. (2;2;0)

Cho a là số thực, phương trình $z^2+(a+2)z+2a-3$ có 2 nghiệm $z_1$, $z_2$. Gọi M, N là điểm biểu diễn của $z_1$, $z_2$ trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng $120°$, tính tổng các giá trị của a.

Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn $\left|iz+1+2i\right|=3$ và biểu thức $T=2\left|z+5+2i\right|+3\left|z-3i\right|$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T. Giá trị tích của M.n là 

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và B(2;-l;4). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2.

A. $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{12}$

Xét các số phức z=a+bi $(a,b\in R)$ thỏa mãn $\left|z-3-2i\right|=2$. Tính a+b khi $\left|z+1-2i\right|+2\left|z-2-5i\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho hai số phức u, v thỏa mãn $3\left|u-6i\right|+3\left|u-1-3i\right|=5\sqrt{10}$, $\left|v-1+2i\right|=\left|\overline{v}+i\right|$. Giá trị nhỏ nhất của $\left|u-v\right|$ là:

Giả sử $z_1$,$z_2$ là hai trong số các số phức z thỏa mãn $\left|iz+\sqrt{2}-i\right|=1$ và $\left|z_1-z_2\right|=2$. Giá trị lớn nhất của $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ bằng

Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC), DB vuông góc BC, AD = AB = BC = a. Kí hiệu V₁, V₂, V₃ lần lượt là thể tích của hình tròn xoay sinh bởi tam giác ABD khi quay quanh AD, tam giác ABC khi quay quanh AB, tam giác DBC khi quay quanh BC. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. $V_1=V_2=V_3$

B. $V_1+V_2=V_3$

C. $V_1=V_2+V_3$

D. $V_1+V_3=V_2$

Cho hai số phức $z_1$, $z_2$ thỏa mãn $|z_1-3i+5|=2$ và $\left|i{z}_2-1+2i\right|=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=|2i{z}_1+3z_2|$

Cho số phức z thoả mãn $\left|z-3-4i\right|=\sqrt{5}$. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\left|z+2\right|}^2-{\left|z-i\right|}^2$. Tính môđun của số phức $w=M+mi$

Đáy của một hình chóp là hình vuông có diện tích bằng 4. Các mặt bên của nó là những tam giác đều. Thể tích của khối chóp là:

A. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{3\sqrt{2}}{3}$

D. $2\sqrt{2}$

Cho $z_1$, $z_2$ là hai nghiệm của phương trình $\left|6-3i+iz\right|=\left|2z-6-9i\right|$, thỏa mãn $\left|z_1-z_2\right|=\frac{8}{5}$. Giá trị lớn nhất của $\left|z_1+z_2\right|$ bằng.

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z^2-2z+5\right|=\left|(z-1+2i)(z+3i-1)\right|$.Tính min |w|, với $w=z-2+2i$

Một hình tứ diện đều có cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón tròn xoay còn ba đỉnh còn lại của tứ diện nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. $\frac{1}{3}{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}$

B. ${\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}$

C. $\frac{1}{3}{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}$

D. $\frac{1}{2}{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}$

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z+1-i\right|=\left|z-3i\right|$ và số phức $w=\frac{1}{z}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left|w\right|$.

Nếu z là số phức thỏa mãn $\left|\overline{z}\right|=\left|z+2i\right|$ thì giá trị nhỏ nhất của $\left|z-i\right|+\left|z-4\right|$ là

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z\right|\le 2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2\left|z+1\right|+2\left|z-1\right|+\left|z-\overline{z}-4i\right|$ bằng

Cho các số phức z thỏa mãn $\left|z-1-i\right|+\left|z-8-3i\right|=\sqrt{53}$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\left|z+1+2i\right|$.

Cho tứ diện ABCD. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó, tỷ số thể tích của khối đa diện AB’C’D và khối đa diện ABCD bằng

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{2}$

Cho các số phức z thỏa mãn $\left|z^2+4\right|=\left|(z-2i)(z-1+2i)\right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\left|z+3-2i\right|$.

Cho các số phức z thỏa mãn $|z-4+3i|=2$. Giả sử biểu thức $P=\left|z\right|$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi z lần lượt bằng $z_1=a_1+b_{1}i$ $(a_1,b_1\in R)$ và $z_2=a_2+b_{2}i$ $(a_2,b_2\in R)$. Tính $S=a_1+a_2$

Cho số phức $z_1$, $z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=12$ và $|z_2-3-4i|=5$. Giá trị nhỏ nhất của $\left|z_1-z_2\right|$ là

Biết rằng hai số phức $z_1$, $z_2$ thỏa mãn $|z_1-3-4i|=1$ và $|z_2-3-4i|=\frac{1}{2}$. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn $3a-2b=12$. Giá trị nhỏ nhất của $P=|z-z_1|+|z-2z_2|+2$ bằng:

Tìm số phức z thỏa mãn $|z-1-i|=5$ và biểu thức $T=|z-7-9i|+2|z-8i|$ đạt giá trị nhỏ nhất

Cho hai số phức z,z' thỏa mãn $|z+5|=5$ và $|z\text{'}+1-3i|=|z\text{'}-3-6i|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z-z\text{'}|$.