Người ta bỏ vào một chiếc hộp hình trụ ba quả bóng tennis hình cầu bằng nhau, biết rằng đáy hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả bóng, chiều cao của hình trụ gấp 3 lần đường kính quả bóng. Gọi V₁ là tổng thể tích ba quả bóng, V₂ là thể tích của hình trụ. Khi đó tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$   là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{2}{3}$

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại B, BC=a, $\angle ACB=60°$  . Tính diện tích xung quanh của hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.

A. $\pi a^2$

B. $2\pi a^2$

C. $\frac{\pi a^2}{2}$

D. $4\pi a^2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;2;5), B(3;-1;0), C(-4;0;-2). Gọi I là điểm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức $\left|\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): 4x+3y+2=0.

A. $\frac{17}{5}$

B. 6

C. $\frac{12}{5}$

D. 9

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 và ba điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và C(2;2;2). Điểm M(a;b;c) trên (P) sao cho $\left|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2a-10b+c.

A. $\frac{62}{9}$

B. $\frac{27}{9}$

C. $\frac{46}{9}$

D. $\frac{43}{9}$

Cho hình trụ có các đường tròn đáy là (O) và (O’), bán kính đáy bằng 1 chiều cao bằng 2. AB, CD lần lượt là đường kính của đường tròn đáy (O) và (O’) sao cho AB vuông góc CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Cho điểm M(2;1;1), mặt phẳng ($\alpha$): x+y+z-4=0, mặt cầu (S) $x^2+y^2+z^2-6x-6y-8z+28=0$. Xét đường thẳng $∆$  đi qua M, nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  và cắt (S) theo một đoạn có độ dài nhỏ nhất. Tính độ dài nhỏ nhất đó.

A. 2

B. 1

C. $\sqrt{2}$

D. $2\sqrt{2}$

Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ bằng bê tông với chiều cao 100cm, độ dày của thành ống là 10cm và đường kính của ống là 50cm. Lượng bê tông cần phải đổ là:

A. $0,04\pi m^3$

B. $4000\pi c{m}^3$

C. $5000\pi c{m}^3$

D. $0,05\pi c{m}^3$

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y+3=0. Đường thẳng $△$ qua A(1;2;-3) vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

Cho các đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$ và đường thẳng $d_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $△$ đi qua A(1;0;2), cắt $d_1$ và vuông góc với $d_2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ($\alpha$): x-2y=0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Một hình trụ có tâm các đáy là O, O’. Biết rằng mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với các mặt đáy của hình trụ tại O, O’ và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình trụ đó. Diện tích của mặt cầu này là $8\pi$  . Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.

A. $8\pi$

B. $16\pi$

C. $\frac{8\pi }{3}$

D. $\frac{16\pi }{3}$

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-3;1;2), B(1;-1;0) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;-1) và hai mặt phẳng (P): 2x-z+1=0 , (Q): y-2=0.Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q)

Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right): x-3y+z=0$ và $\left(\beta \right): x+y-z+4=0$. Phương trình tham số của đường thẳng d là

Cắt một hình nón bởi mặt phẳng qua trục được thiết diện một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2. Diện tích toàn phần của hình nón là?

A. $\pi \left(\sqrt{2}+1\right)$

B. $\sqrt{2}\pi$

C. $\pi \left(\sqrt{2}+2\right)$

D. $\pi \left(2\sqrt{2}+1\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: $\frac{x}{5} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z-4}{1}$ Hỏi đường thẳng d song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng có phương trình dưới đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ($\alpha$): x+y-z+1=0 và ($\beta$): -2x+my+2z-2=0. Tìm m để ($\alpha$)song song với ($\beta$).

A. m = -2

B. không tồn tại m

C. m = 2

D. m = 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y-z-1=0 và đường thẳng $d: \frac{x-4}{-2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;3)và B(3;-2;1). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với (Oxz)?

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3), C(2;2;-1) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ($\alpha$): 2z-3=0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1;1) và hai mặt phẳng (P): x-y+2z-1=0 (Q): 2x+y+3=0. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M đồng thời song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): x-2y-3=0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+2y-z-1=0$  và $\left(\beta \right): 2x+4y-mz-2=0$ . Tìm m để$\left(\alpha \right)$  và $\left(\beta \right)$  song song với nhau.

A. m = 1

B. m = -2

C. m = 2

D. Không tồn tại m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\cos x}}=\cos x$ có nghiệm thực?

A. 5

B. 7

C. 3

D. 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x-2y+z-1=0 có dạng

Cho điểm A(1;2;3) và hai mặt phẳng (P): 2x+2y+z+1=0, (Q): 2x-y+2z-1=0. Phương trình đường thẳng (P) đi qua A song song với cả (P) và (Q) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình mặt cầu?

Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với A(1;4;3), B(3;-6;5)

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=2a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy và góc giữa $SB$ mặt đáy bằng ${60}^o$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(ABC\right)$. Giá trị $\cos \alpha$ bằng

A. $\frac{\sqrt{15}}{5}$

B. $\frac{1}{\sqrt{7}}$

C. $\frac{2}{5}$

D. $\frac{2}{\sqrt{7}}$

Cho đường thẳng $△$ đi qua điểm M(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(2;-3;1)$. Phương trình tham số của đường thẳng $△$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M(1;-1;2) và vuông góc với đường thẳng $∆: \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{3}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;2;1), M(3;0;0) và mặt phẳng (P): x+y+z-3=0. Đường thẳng $∆$  đi qua điểm M, nằm trong mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến $∆$  là nhỏ nhất. Gọi véc tơ $\overrightarrow{u} = \left(a;b;c\right)$  là một véc tơ chỉ phương của $∆$  (a,b,c là các số nguyên có ước chung lớn nhất là 1). Tính P = a+b+c

A. -1

B. 1

C. 2

D. 0

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=x^4-2m{x}^2+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều ?

A. m=0 hoặc m =$\sqrt[3]{3}$

B. m=1

C. m=$\sqrt[3]{3}$

D. m=0 hoặc m=1

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;1;3) và có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;1;-2)$. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng nào trong các đường thẳng sau

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x = t\\ y = 1-t\\ z = -1+2t\end{array}\right.$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ x+3y+2z-2=0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng d cắt mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ .

B. Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ .

C. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ .

D. Đường thẳng d song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ .

Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;0) và có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;-2;3)$. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $△$ đi qua điểm M(1;2;3) và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(2;4;6)$. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng $△$?

Cho khối cầu tâm I, bán kính R không đổi. Một khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r, nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo bán kính R sao cho khối nón có thể tích lớn nhất.