Cho tứ diện OABC biết OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, biết OA=3, OB=4 và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A. 3

B. $\frac{\sqrt{41}}{12}$

C. $\frac{144}{\sqrt{41}}$

D. $\frac{12}{\sqrt{41}}$

Xét khối lăng trụ tam giác ABC. A'B'C'. Mặt phẳng đi qua C' và các trung điểm của AA', BB' chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số thể tích bằng:

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{1}{3}$

Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O và O' lần lượt là tâm các hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh B'C' và CD. Tính thể tích khối tứ diện OO'MN.

A. $\frac{a^3}{8}$

B. a³

C. $\frac{a^3}{12}$

D. $\frac{a^3}{24}$

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA =$\frac{a\sqrt{2}}{2}$ , OB=OC=a. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối tứ diện OABH.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{24}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{48}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a$\sqrt{2}$. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BC, SH = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. BHD.

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{17}}{4}$

D. $\frac{a\sqrt{11}}{4}$

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác vuông và AB=BC=a, AA' = $a\sqrt{2}$, M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách d của hai đường thẳng AM và B'C.

A. $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $d=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

C. $d=\frac{a\sqrt{7}}{7}$

D. $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có cạnh đáy bằng a và $AB\text{'}\perp BC\text{'}$. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $\frac{7a^3}{8}$

B. $a^3\sqrt{6}$

C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{8}$

D. $\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F. Biết $V_{S.AEF}=\frac{1}{4}{V}_{S.ABC}$. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $\frac{a^3}{2}$

B. $\frac{a^3}{8}$ 

C. $\frac{2a^3}{5}$

D. $\frac{a^3}{12}$ 

Cắt khối hộp ABCD. A'B'C'D' bởi các mặt phẳng (AB'D'), (CB'D'), (B'AC), (D'AC) ta được khối đa diện có thể tích lớn nhất là:

A.A'CB'D'

B.A'C'BD

C.ACB'D'

D.AC'B'D'

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD đáy là hình bình hành có thể tích bằng V. Lấy điểm B', D' lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD. Mặt phẳng qua (AB'D') cắt cạnh SC tại C'. Khi đó thể tích khối chóp S. AB'C'D' bằng:

A. $\frac{V}{3}$

B. $\frac{2V}{3}$

C. $\frac{V^3}{3}$

D. $\frac{V}{6}$

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60⁰. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Thể tích khối chóp S. ABMN là:

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. $a^3\sqrt{3}$

Cho tứ diện ABCD có AB = AD = a$\sqrt{2}$, BC = BD = a và CA = CD = x. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Biết thể tích của khối tứ diện bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:

A.60⁰

B.45⁰

C.90⁰

D.120⁰

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ${60}^o$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh SD, DC. Thể tích khối tứ diện ACMN là:

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a^3}{8}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Thể tích V của khối chóp A. BCNM bằng:

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{48}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$

Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng ${45}^o$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AD. Tính thể tích khối chóp S. CDMN theo a.

A. $\frac{5a^3}{8}$

B. $\frac{a^3}{8}$

C. $\frac{5a^3}{24}$

D. $\frac{a^3}{3}$

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng V, thể tích của khối đa diện có đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD bằng V'. Tính tỉ số V'/V.

A. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{1}{2}$

B. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{1}{8}$

C. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{1}{4}$

D. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{3}{4}$

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C', biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A'BC) bằng $\frac{a}{6}$. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A'B'C'.

A. $\frac{3a^3\sqrt{2}}{8}$

B. $\frac{3a^3\sqrt{2}}{28}$

C. $\frac{3a^3\sqrt{2}}{4}$

D. $\frac{3a^3\sqrt{2}}{16}$

Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A'B'C'.

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ.

A. $\frac{2017}{9}$

B. $\frac{4034}{81}$

C. $\frac{8068}{27}$

D. $\frac{2017}{27}$

Cho khối lăng trụ ABC. A'B'C' có thể tích bằng 2018. Gọi M là trung điểm AA' ; N, P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BB', CC' sao cho BN=2B'N, CP=3C'P. Tính thể tích khối đa diện ABC. MNP.

A. $\frac{32288}{27}$

B. $\frac{40360}{27}$

C. $\frac{4036}{3}$

D. $\frac{23207}{18}$

Hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB=1; AC=2. Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) nằm trên đường thẳng BC. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

D. $\frac{2}{3}$

Cho khối chóp S. ABC có góc $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={60}^o$ và SA=2, SB=3, SC=4. Thể tích khối chóp S. ABC.

A. $2\sqrt{2}$

B. $2\sqrt{3}$

C. $4\sqrt{3}$

D. $3\sqrt{2}$

Cho khối lăng trụ đứng, mặt phẳng (P) đi qua C' và các trung điểm của AA', BB' chia khối lăng trụ ABC. A'B'C' thành hai khối đa diện có tỷ số thể tích bằng k với k ≤ 1. Tìm k.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. 1

D. $\frac{1}{2}$

Cho hình chóp đều S. ABCD có AC = 2a, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

A. $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

B. $V=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $V=a^3\sqrt{2}$

D. $V=\frac{a^3}{2}$

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi G₁, G₂, G₃, G₄ lần lượt là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD. Tính thể tích V của khối tứ diện G₁G₂G₃G₄.

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{18}$

C. $\frac{9\sqrt{2}}{32}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{12}$

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V.

A.$\frac{V}{4}$

B.$\frac{V}{3}$

C.$\frac{V}{2}$

D.$\frac{V}{5}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=k$. Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp S.AMN bằng $\frac{1}{8}$

A.k = $\frac{1}{8}$

B.k = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.k = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

D.k = $\frac{1}{4}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a$\sqrt{3}$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

A. $V=\frac{2\sqrt{6}{a}^3}{3}$

B. $V=\frac{2a^3}{3}$

C. $V=\sqrt{3}{a}^3$

D. $V=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{3}$

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A góc $\widehat{ABC}={30}^o$; tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:

A. $\frac{a\sqrt{6}}{5}$

B. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng ${60}^o$. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

A.$\frac{\sqrt{3}{a}^3}{8}$

B.$\frac{\sqrt{3}{a}^3}{12}$

C.$\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$

D. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4}$

Cho khối chóp S. ABC có $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={60}^o$, SA=a, SB=2a, SC=4a. Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a.

A. $\frac{8a^3\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN=2SD. Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN.

A. $V=\frac{1}{12}{a}^3$

B. $V=\frac{1}{6}{a}^3$

C. $V=\frac{1}{8}{a}^3$

D. $V=\frac{1}{36}{a}^3$

Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=3a, BC=5a, SA = 2a$\sqrt{3}$, $\widehat{SAC}={30}^o$ và mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt đáy.

A. $V= 3a^3\sqrt{2}$

B. $V=\frac{ a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $V= a^3\sqrt{3}$

D. $V= 2a^3\sqrt{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh CD. Tính thể tích khối chóp S.ABM.

A. $\frac{a^3}{2}$

B. $a^3$

C. $\frac{a^3}{6}$

D.$\frac{3a^3}{4}$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông tại A. Hình chiếu của A' lên (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết AB=a, AC = $a\sqrt{3}$, AA'=2a.

A. $\frac{3a^3}{2}$

B. $a^3\sqrt{3}$

C. $3a^3\sqrt{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{39}}{12}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SO tạo với mặt phẳng đáy một góc 45⁰. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

D. $a^3\sqrt{2}$

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB=3a, BC=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy; SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60⁰. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. V = $\sqrt{60}$a³

B. V = 3$\sqrt{20}$a³

C. V = $\sqrt{30}$a³

D. V = 3a³.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=4a. Tìm thể tích khối chóp S.ABCD.

A. 3a³$\sqrt{13}$

B. 3a³$\sqrt{10}$

C. a³$\sqrt{13}$

D. a³$\sqrt{10}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰.

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

Cho khối lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AC = AB = 2a, góc giữa AC' và mặt phẳng (ABC) bằng 30⁰. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{3}$

C. $\frac{a^3}{\sqrt{3}}$

D.$\frac{4\sqrt{3}{a}^3}{3}$