Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và cắt một mặt cầu tâm O bán kính R tạo thành hai đường tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai đường tròn và đáy trùng với đường tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q) để diện tích xung quanh hính nón đó là lớn nhất.

Cho hình nón (N) có đường cao SO = h và bán kính đáy bằng R , gọi M là điểm trên đoạn SO , đặt OM = x, 0<x<h. (C) là thiết diện của mặt phẳng (P) vuông góc với trục SO tại M , với hình nón (N). Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất.

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng ${120}^{\circ }$. Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất?

Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất.

Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm I của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu?

Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là

Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, AC = b, AB = c, . Gọi B', C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC'B' theo b, c, $\alpha$.

Một hình hộp chữ nhật P nội tiếp trong một hình cầu có bán kính R . Tổng diện tích các mặt của P là 384 và tổng độ dài các cạnh của P là 112 . Bán kính R của hình cầu là.

Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng h không đổi, một đáy là tứ giác ABCD với A ,B ,C ,D di động. Gọi I là giao của hai đường chéo AC và BD của tứ giác đó. Cho biết IA.IC = IB.ID = $h^2$. Tính giá trị nhỏ nhất bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. 

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt bên (SAB), (SCA) lần lượt là các tam giác vuông tại B, C. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{2}{3}{a}^3$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC?

Cho tứ diện ABCD có AB =  BC = CD = 2, AC = BD = 1, AD = $\sqrt{3}$. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích $84\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD,DC Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DMN.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm H của AD, SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? 

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và cắt một mặt cầu tâm O bán kính R tạo thành hai đường tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai đường tròn và đáy trùng với đường tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q) để diện tích xung quanh hính nón đó là lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính theo a bán kính R của mặt cầu đi qua năm điểm A, B, C, $B_1,C_1$

Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao $A{A}_1$. Gọi I là trung điểm $A{A}_1$. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

Cho hình nón (N) có đường cao SO = h và bán kính đáy bằng R , gọi M là điểm trên đoạn SO , đặt OM = x, 0<x<h. (C) là thiết diện của mặt phẳng (P) vuông góc với trục SO tại M , với hình nón (N). Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất.

Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng $36{\mathrm{\pi a}}^2$. Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.

Cho tứ diện ABCD cạnh a . Diện tích xung quanh hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiếu cao tứ diện ABCD là:

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $f\left({\sin }^{2}x\right)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi

A. $m\in \left[-1;0\right]$

B. $m\in$[-1;3]

C. $m\in$(-1;1)

D. $m\in$[-1;1]

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$, có bảng biến thiên như sau

Phương trình $2f\left(x\right)=m=0$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

A. $m\in \left(-4;2\right)$         

B. $m\in$(-4;8)

C. $m\in$(-8;4)

D. $m\in$(-2;4)

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$ là

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(3^x-1\right),\forall x.$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

A.2

B. 1

C. 3

D. 4

Cho hàm số $y=\frac{3x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đều có tọa độ nguyên?

A. 30

B. 12

C. 15

D. 24

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (−8;8) để hàm số $y=\frac{2\sqrt{9-x^2}}{\sqrt{9-x^2}-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\sqrt{5}\right)$?

A. 9

B. 7

C. 8

D. 6

Cho hàm số $y=x^5-m{x}^4+\left(m^3-3m^2-4m+12\right)x^3+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Họ đường cong $\left(C_m\right): y=m{x}^3-4m{x}^2+\left(3m-3\right)x+1$ đi qua những điểm cố định nào?

Cho hình tứ diện đều cạnh 2a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. $\frac{4\pi a^2\sqrt{3}}{3}$

B. $2\pi a^2\sqrt{3}$

C. $\frac{\pi a^2\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{8\pi a^2\sqrt{3}}{3}$

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = SC = a , SB = 2a . Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBO) và (SBC) bằng:

A. 30⁰

B. 90⁰

C. 60⁰

D. 45⁰

Thể tích của miếng xúc xích dạng nửa hình trụ có đường kính đáy 2 cm và chiều cao 3 cm là:

A. $6c{m}^3$

B. $\frac{3\pi }{2}c{m}^3$

C. $6\pi c{m}^3$

D. $\frac{3}{2}c{m}^3$

Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Nếu ta đặt quả bóng lên miệng chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng $\frac{3}{4}$  chiều cao của quả bóng. Gọi V₁ ,V₂ lần lượt là thể tích của quả bóng và thể tích chiếc chén, khi đó:

A. 3V₁ = 2V₂

B. 9V₁ = 8V₂

C. 27V₁ = 8V₂

D. 16V₁ = 9V₂

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ?

A. y+5=0

B. z+20=0

C. x-2019=0

D. 2x+5y-8z=0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): x-y+3=0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)

A. 60$°$

B. 30$°$

C. 120$°$

D. 45$°$

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng  $d: \frac{x+5}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}$ và mặt phẳng (P): 3x+4y+5z=0 Khi đó:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;3;4), B(3;1;0). Gọi M là điểm trên mặt phẳng (Oxz) sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là ngắn nhất. Tìm hoành độ $x_0$ của điểm M.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-1;2;2), B(3;-1;-2), C(-4;0;3). Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng (Oxz) sao cho biểu thức $\left|\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d: \frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}$ và mặt cầu $\left(S\right): {(x-3)}^2+{(y-2)}^2+{(z-5)}^2=36$. Gọi $△$ là đường thẳng đi qua A(2;1;3), vuông góc với đường thẳng d và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thằng $△$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;a;b)$. Tính

A. 4

B. -2

C. $\frac{-1}{2}$

D. 5

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;2]. Biết f(0) =1 và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(2-\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{2{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}}$  với mọi $\mathrm{x}\in [0;2]$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^2\frac{\left({\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$.

A. I = -14/3

B. I = -32/5

C. I = -16/3

D. I = -16/5