Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đề tiếp xúc với đường sinh của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là $120c{m}^3$ , thể tích của mỗi khối cầu bằng

Người ta xếp bốn quả bóng hình cầu có bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng và quả dưới cùng tiếp xúc với hai nắp hộp. Tính thể tích của hộp biết thể tích mỗi quả bóng là $10 c{m}^3$

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là $120c{m}^3$ , thể tích của mỗi khối cầu bằng

Một khối đồ chơi bao gồm khối trụ và khối lăng trụ tam giác đều được xếp chồng lên nhau như hình vẽ.

Biết rằng bán kính đáy khối trụ bằng chiều cao khối trụ, chiều cao khối trụ bằng chiều cao của lăng trụ. Gọi $V_1 và V_2$  lần lượt là thể tích của khối trụ và khối lăng trụ. Tính $\frac{V_1}{V_2}$.  

Người ta thả một viên bi sắt có dạng khối cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi sắt đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong lòng cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên bi sắt đó bằng

Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tenis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính của quả banh. Gọi $\left(S_1\right)$ là tổng diện tích của ba quả banh, $\left(S_2\right)$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích  $\frac{S_1}{S_1}$là

Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là  . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Thể tích V của nước còn lại trong bình bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=x{(x-1)}^2{\left(x-3\right)}^3{\left(x-2\right)}^4$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left|\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}+m\right|$. Hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f$ với a, b, c, d, e, f là các số thực; đồ thị của $y=f\text{'}\left(x\right)$ như hình vẽ bên. Hàm số $y=f\left(1-2x\right)-2x^2+1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-\frac{3}{2};-1\right)$

B. $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

C. (-1;0)

D. (1;3)

Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left(-10;10\right)$ để hàm số $y=m^2{x}^4-2\left(4m-1\right)x^2+1$ đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$

A. 15

B. 7

C. 16

D. 6

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\underset{R}{max} f\left(x\right)$ = 4

B. $\underset{[-2;3]}{max} f\left(x\right)$ = 4

C. $\underset{R}{min} f\left(x\right)$ = -2

D. $\underset{[1;3]}{min} f\left(x\right)$ = -1

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + $\frac{9}{x}$ trên đoạn [2;4] là:

A. $\underset{[2;4]}{min} y$= 6

B. $\underset{[2;4]}{min} y$= -6

C. $\underset{[2;4]}{min} y$= $\frac{25}{4}$

D. $\underset{[2;4]}{min} y$= $\frac{3}{2}$

Cho hàm số f(x)liên tục trên đoạn [-2;3] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi m, Mlần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2;3]. Giá trị của 2m - 3M bằng:

A. -13

B. -16

C. -18

D. -15

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = $x^3-3x+2$ trên đoạn [0;2]. Khi đó tổng M+m bằng.

A. 4

B. 12

C. 2

D. 6

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các đoạn SD, SA lấy các điểm M, N và $\frac{SM}{SD}=\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}$ , mặt phẳng (BCMN) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích $V_1, V_2$($V_1$ là thể tích SBCMN). Tính $\frac{V_1}{V_2}$ . 

A. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{5}{4}$

B. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{4}{5}$

C. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{3}{2}$

D. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{2}{3}$

Hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết SA = SB = 2a, SC = a. Gọi G là trọng tâm $∆$ABC. Tính SG  

A. SG = $\frac{1}{3}a\sqrt{\frac{2}{3}}$

B. SG = $\frac{a}{2}$

C. SG = $\frac{2a}{3}$

D. SG = a

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', AB = a, AA' = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Xác định góc α giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (A'BC)

A. α = 90$°$

B. α = 60$°$

C. α = 45$°$

D. α = 30$°$

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành AB = a, AC = $\frac{a}{2}, BC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $∆$SAD vuông cân tại S và (SAD)$\perp$(ABCD). Tính thể tích V của SABCD.

A. V = $\frac{a^3}{16}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

C. V = $\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

D. V = $\frac{a^3}{6\sqrt{6}}$

Hình chóp S.ABC, SA$\perp$(ABC), $∆$ABC đều cạnh a, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60$°$, tính khoảng cách từ A xuống mặt phẳng (SBC). 

A. h = $\frac{3a}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

C. h = $\frac{a}{2}$

D. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách h từ giữa B'D và CD'.

A. h = $\frac{a}{\sqrt{6}}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có thể tích V = $a^3$. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CD, AA'. Tính thể tích $V_1$  của AMNP theo a.

A. V = $\frac{1}{12}{a}^3$

B. V = $\frac{1}{6}{a}^3$

C. V = $\frac{1}{8}{a}^3$

D. V = $\frac{1}{16}{a}^3$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, H là trọng tâm $∆$ACD, SH$\perp$(ABCD). Biết $∆$SBD vuông tại S. Tính thể tích V của S.ABCD.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

B. V = $\frac{a^3}{4}$

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

D. V = $\frac{2a^3}{9}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, M là trung điểm BC. Biết $∆$SAM đều và (SAM)$\perp$(ABC). Tính thể tích V của S.ABC.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$

C. V = $\frac{a^3}{8}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{24}$

Cho hình chóp S.ABC có SA$\perp$(ABC), $∆$ABC cân tại A, $\widehat{BAC} = 120°$, biết SA = AB = a. Tính khoảng cách từ h từ S xuống mặt phẳng (SBC).

A. h = $\frac{a}{\sqrt{5}}$

B. h = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

C. h = $\frac{a}{2}$

D. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC. Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt (SAB) và (ABC). Tính cos$\alpha$

A. cos$\alpha$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. cos$\alpha$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. cos$\alpha$ = $\frac{1}{\sqrt{6}}$

D. cos$\alpha$ = $\sqrt{\frac{2}{3}}$

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách h giữa AB và CD. 

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. h = $\frac{a}{2}$

C. h = $a\sqrt{\frac{2}{3}}$

D. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tứ diện ABCD có $∆$ABD và $∆$CBD vuông cân với cạnh huyền chung BD, (ABD)$\perp$(CBD). Biết AB = a. Tính diện tích của $∆$ACD.

A. $S_{∆ACD} = \frac{a^2}{2}$

B. $S_{∆ACD} = \frac{a^2}{4}$

C. $S_{∆ACD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

D. $S_{∆ACD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có $\widehat{ABC} = 45°$, $∆$SAD đều và (SAD)$\perp$(ABCD). Tính thể tích V của hình chóp.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

D. V = $\frac{a^3}{4}$

Cho Ax, By là hai nửa đường thẳng chéo nhau vuông góc với nhau. Trên Ax lấy D, By lấy C biết AD = BC, AB là đường vuông góc chung của Ax, By và AB = a, CD = 3a. Tính thể tích V của ABCD.

A. V = $\frac{a^3}{3}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

D. V = $\frac{2a^3}{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có SA$\perp$(ABCD), đáy ABCD là hình bình hành có AB$\perp$AC. Biết SA = AD = a. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SCD).

A. h = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. h = $a\sqrt{\frac{3}{7}}$

C. h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. h = $\frac{a}{2}$

Hình chóp S.ABC có $∆$ABC đều cạnh a. SA$\perp$(ABC). Tính độ dài SA theo a biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60$°$.

A. SA = $\frac{a}{2}$

B. SA = $\frac{3a}{2}$

C. SA = a

D. SA = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Cho tứ diện ABCD, trên AB lấy điểm M sao cho AM = $\frac{1}{3}AB$. Gọi $V_1, V_2$  là các phần thể tích thuộc tứ diện được chia ra bởi mặt phẳng ($\alpha$) đi qua M,  ($\alpha$) // AC và ($\alpha$)  // BD. Tính $\frac{V_1}{V_2}$ .

A. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{1}{3}$

B. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{4}{9}$

C. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{8}{27}$

D. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{7}{20}$

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = 2a, AD = 3a. Gọi V là phần thể tích thuộc hình hộp nằm ở khoảng giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (B'CD'). Tính V.

A. V = 4$a^3$

B. V = 3$a^3$

C. V = 2$a^3$

D. V = $a^3$

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\widehat{ACB} = 30°$, AB = a; $∆$A'AC đều và (AA'C'C)$\perp$(A'B'C'). Tính thể tích V của lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. V = $\frac{3a^3}{2}$

B. V = $a^3\sqrt{3}$

C. V = $\frac{2a^3}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các mặt bên của mình chóp là các tam giác đều. Tính đường cao SH của hình chóp đó.

A. SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

B. SH = $\frac{a}{2}$

C. SH = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. SH = $a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Tứ diện ABCD là tứ diện đều nội tiếp trong mặt cầu bán kính R. Tính độ dài của cạnh tứ diện đều theo R

A. R$\sqrt{2}$

B. R$\sqrt{3}$

C. $\frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{R\sqrt{6}}{2}$

Cho hình chóp S.ABCD có SA$\perp$(ABCD); ABCD là hình vuông. Biết SA = a, AB = a$\sqrt{2}$. Tính khoảng cách h giữa BD,SC

A. h = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

B. h = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

C. h = $\frac{a}{\sqrt{5}}$

D. h = $\frac{2a}{\sqrt{5}}$

Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a. Tính thể tích V của hình hộp đó biết $\widehat{BAD} = \widehat{DAA\text{'}} = \widehat{BAA\text{'}} = 60°$

A. V = $\frac{a^3}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3}{3}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và hai mặt bên SAB, SAC là các tam giác vuông tại A. Biết SB = SC = a$\sqrt{2}$, BC = a, tính thể tích V của S.ABC.

A. V = $\frac{a^3}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$