Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kỳ nội tiếp mặt cầu (S). Thể tích khối nón (H) là $V_1$ thể tích phần còn lại của khối cầu là $V_2$. Giá trị lớn nhất của $\frac{V_1}{V_2}$ bằng:

A. $\frac{81}{32}$

B. $\frac{76}{32}$

C. $\frac{32}{81}$

D. $\frac{32}{76}$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BB¢ và CC¢. Mặt phẳng (AEF) chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích $V_1$ và $V_2$ như hình vẽ. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ là

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là

Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA=a và SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp S.ABCD là

Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 3

B. 4

C. 6

D. 9

Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng a

Gọi (H) là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình quạt OAB (hình vẽ bên) quanh đường thẳng d đi qua O và vuông góc với AB. Biết OA=OB=2a,$\stackrel{⏜}{AOB}={60}^0$. Thể tích V của khối tròn xoay (H) gần với giá trị nào sau đây nhất ?

A. 1,75

B. 2,25

C. 1,55

D. 3,15

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^3-3m{x}^2+4m^3$ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng $\left(d\right):y=x$.

A. $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $m=0 hoặc m=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 

D. $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 

Một hình nón có chiều cao SO=50cm và có bán kính đáy bằng 10cm. Lấy điểm M thuộc đoạn SO sao cho OM=20cm. Một mặt phẳng qua M vuông góc với SO cắt hình nón theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn xác định bởi (C) (xem hình vẽ).

Một hình trụ có bán kính đáy r=a, chiều cao $h=a\sqrt{3}$. Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình trụ.

Cho hàm số $y=x^4-2(m+1)x^2+m\left(C\right)$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

A. $m=2\pm 2\sqrt{2}$

B. $m=2+2\sqrt{2}$

C. $m=2-2\sqrt{2}$

D. $m=\pm 1$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB. Thiết diện của mặt phẳng (ADM) với hình chóp là:

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Tam giác

D. Hình thang hoặc hình tam giác

Một hình nón có đường cao bằng 10 cm, bán kính đáy r= 15cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

A.75$\sqrt{13}$

B. 5$\mathrm{\pi }\sqrt{13}$

C.125$\mathrm{\pi }\sqrt{13}$

D.75$\mathrm{\pi }\sqrt{13}$

Cho hai điểm phân biệt A, B. Tìm tập hợp các tâm O của các mặt cầu đi qua hai điểm A, B. 

 A. Đường trung trực của đoạn AB.

B. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

C. Đường tròn đường kính AB.

D. Trung điểm của AB.

Nếu tứ diện ABCD có thể tích V thì thể tích của đa diện có 6 đỉnh là 6 trung điểm các cạnh tứ diện bằng:

A.$\frac{V}{4}$

B.$\frac{V}{2}$

C.$\frac{V}{3}$

D.$\frac{2}{3}V$

Tính thể tích của hình hộp ABCDA'B'C'D' biết rằngAA'B'D' là tứ diện đều cạnh bằng a.

A.$\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

B.$\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

C.$\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

D.$\frac{a^3}{2}$

Cho 2 đường thẳng phân biệt a và b không nằm trong mặt phẳng (P), trong đó $a\perp \left(P\right)$. Mệnh đề nào sau đây là sai ?

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng ${45}^0$. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Cho tứ diện S.ABC có các tam giác SAB, SAC và ABC vuông cân tại A, SA=a. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

A. $\sqrt{3}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai mặt phẳng cắt nhau $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$. M là một điểm nằm ngoài hai mặt phẳng trên. Qua M dựng được bao nhiêu mặt phẳng đồng thời vuông góc với $\left(\alpha \right)$và $\left(\beta \right)$?

A. Vô số

B. 1

C. 2

D. 0

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC. Gọi O là hình chiếu của S lên mặt đáy ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. O là trực tâm tam giác ABC

B. O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

C. O là trọng tâm tam giác ABC

D. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho 5SM=2SC mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A, M và song song với đường thẳng BD cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại H, K. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{S.AHMK}}{V_{S.ABCD}}$?

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{8}{35}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{6}{35}$

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=$a\sqrt{3}$ vuông góc với mặt đáy và mặt phẳng  (SBC) tạo với đáy một góc ${60}^0$. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.

Cho tứ diện ABCD cạnh 2a. Tính thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC=2a; $\stackrel{⏜}{ABC}={60}^0$. Gọi M là trung điểm của BC, SA=SC=SM=$a\sqrt{5}$. Tính khoảng cách từ điểm S tới mặt phẳng (ABC).

A. a

B. 2a

C. $a\sqrt{3}$

D. $a\sqrt{2}$

Cho hình lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có thể tích bằng $a^3$. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên và G là trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích V của khối tứ diện GMNP.

Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_2{C}_1{D}_1$ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của $B{B}_1, CD, A_1{D}_1$ Tính góc giữa hai đường thẳng MP và $C_{1}N$.

A. ${30}^0$

B. ${60}^0$

C. ${90}^0$

D. ${45}^0$

Cho hình nón đỉnh S, chiều cao S0=h, bán kính đáy bằng R. Gọi M là điểm nằm trên đoạn SO, đặt OM=x ($0<x<h$ Cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với SO, thiết diện thu được là đường tròn (C). Tìm x để thể tích của khối nón đỉnh O đáy là hình tròn giới hạn bởi (C) đạt giá trị lớn nhất.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3m^3$ có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.

A. m = 2 hoặc m = 0.

B. m = 2

C. m = -2

D. $m=\pm 2$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-x^3+3x^2+3(m^2-1)x-3m^2-1$ có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ .

A. $m=\pm \frac{1}{2}$

B. $m=\frac{1}{2}$

C. $m=-1$

D. $m=\pm 1$

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: $y=-x^4+2m{x}^2-4m+1$ có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành 1 hình thoi

A. Không tồn tại m

C. m = -1

D. m = 1

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: $y=x^4-(3m-1)x^2+2m+1$ có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm $D(7;3)$ nội tiếp được một đường tròn

A. m = 3

B. m = 1

C. m = -1

D. Không tồn tại m

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: $y=x^4-2m{x}^2+m$ có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1

A. m < -1

B. m > 2

C. $m\in (-\infty ,-1)\cup (2;+\infty )$

D. Không tồn tại m

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: $y=x^4-8m^2{x}^2+1$ có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64

A. Không tồn tại m

B. $m=\sqrt[5]{2}$

C. $m=-\sqrt[5]{2}$

D. $m=\pm \sqrt[5]{2}$

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: $y=x^4-2m^2{x}^2+m^4+1$ có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp

A. $m=\pm 1$ 

B. m = 1

C. Không tồn tại m

D. m = -1

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: $y=x^4-2m{x}^2+m-1$ có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

C. $m=\pm \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

D. m = 1

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: $y=x^4-2m{x}^2+m-1$ có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

C. $m=\pm \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

D. m = 1

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng $a^3$. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và B'C'.

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D'có cạnh bằng a. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM=$\frac{1}{3}AB$. Tính khoảng cách h từ điểm C tới mặt phẳng (B'DM).