Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một và AB=3a, AC=6a, AD=4a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CD, BD. Tính thể tích khối đa diện AMNP.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách từ B tới đường thẳng DB'.

Cho hình hộp đứng $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường thẳng $D{B}_1$ tạo với mặt phẳng $\left(BC{C}_1{B}_1\right)$ góc ${30}^0$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$.

Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 15

B. 9

C. 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a, BC=a. Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a$\sqrt{2}$. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Cho hình chóp S.ABC có SC=2a, SC vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC đều cạnh 3a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết SB=3a, AB=4a, BC=2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng ${60}^0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A góc $\stackrel{⏜}{ABC}={30}^0$; tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và măt phẳng (SAB) $\perp$mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai măt phẳng (SAB) và (ABC) bằng ${60}^0$. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h=20cm, bán kính đáy r=25cm. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó.

Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và $A\text{'}C\text{'}$ bằng

A. $\sqrt{3}a$

B. a

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

D. $\sqrt{2}a$

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $3{\mathrm{\pi a}}^2$ và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng

A. $2\sqrt{2}a$

B. 3a

C. 2a

D. $\frac{3a}{2}$

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là

A. $V=\frac{1}{3}Bh$.

B. $V=\frac{1}{6}Bh$.

C.$V=Bh$.

D. $V=\frac{1}{2}Bh$

.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi $V_1$ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{V_1}{V}$?

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{1}{3}$

Diện tích và chu vi của một hình chữ nhật ABCD (AB > AD) theo thứ tự là $2a^2$ và $6a$. Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB một vòng, ta được một hình trụ. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ này.

Lăng trị ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng (P) chứa BC vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng $\frac{a\sqrt[2]{3}}{8}$ . Thể tích khối  lăng trụ ABCA’B’C' bằng

A. $\frac{a\sqrt[3]{2}}{12}$

B. $\frac{a\sqrt[3]{6}}{12}$

C. $\frac{a\sqrt[3]{6}}{3}$

D. $\frac{a\sqrt[3]{3}}{12}$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc ${30}^{\circ }$. Biết hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC.

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có BC = $\sqrt{3}a$, SA = $\sqrt{2}a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa SB và AD bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 2AD = 2CD, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc giữa SC và đáy bằng ${60}^{\circ }$. Biết khoảng cách từ B đến (SCD) là  $\frac{a\sqrt{42}}{7}$, khi đó tỉ số $\frac{V_{S.ABCD}}{a^3}$ bằng

Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là một hìnht tròn tâm O bán kính R, chiều cao của hình nón bằng 2R. Gọi I là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho IO = 2R. Giả sử A là điểm trên đường tròn (O) sao cho OA $\perp$ OI. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Cho hình lăng trụ tam giác đều  ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.

Cho hình thanh cân ABCD, AD//BC có AB = BC = CD = a; AD = 2a. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi xoay hình thang theo trục AC là

A. $\frac{\mathrm{\pi a}\sqrt[3]{2}}{3}$.

B. $\frac{\mathrm{\pi a}\sqrt[3]{3}}{3}$.

C. $\frac{\mathrm{\pi a}\sqrt[3]{6}}{3}$.

D. $\frac{\mathrm{\pi a}\sqrt[3]{3}}{9}$.

Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN $\perp$PQ. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để thu được một khối đá có hình tứ diện MNPQ. Biết rằng MN = 60 cm và thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng $30 d{m}^3$. Hãy tính thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân)

Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. Tam giác ABC cân tại A, có $AB=2a, ACD={60}^o$. M là trung điểm AB, $N\in BC$ sao cho . Khi đó khoảng cách từ P đến mặt phẳng   (BCD) bằng   (với P là giao điểm MN và AC).

A. $\frac{2a\sqrt{21}}{7}$.

B. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$.

C. $\frac{a\sqrt{7}}{7}$

D. $\frac{2a\sqrt{7}}{7}$

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB = b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy điểm M với AM = x (0 < x< a). Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua M song song với AC, SB và cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Xác định x để diện tích thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất.

Một hình trụ có chiều cao h, một thiết diện song song và cách trục một khoảng bằng d chắn trên đáy một dây cung sao cho cung nhỏ có số đo bằng ${60}^o$. Thể tích của khối trụ là

A. $\frac{2{\mathrm{\pi d}}^2\mathrm{h}}{3}$.

B.$\frac{3{\mathrm{\pi d}}^2\mathrm{h}}{2}$.

C.$\frac{{\mathrm{\pi d}}^2\mathrm{h}}{3}$.

D. $\frac{4{\mathrm{\pi d}}^2\mathrm{h}}{3}$

Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. ${60}^o$

B. ${30}^o$

C. ${90}^o$

D. ${45}^o$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MC = 2MS. Biết  AB = 3,  BC = $3\sqrt{3}$. Tính thể tích của khối chóp

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=\frac{1}{2}AD=2a$. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ACD

A. $\frac{4a\sqrt[3]{3}}{3}$.

B. $\frac{a\sqrt[3]{3}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt[3]{2}}{6}$.

D. $\frac{a\sqrt[3]{3}}{6}$.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB} và \overrightarrow{EG}$? 

A. ${90}^o$

B. ${60}^o$

C. ${45}^o$

D. ${120}^o$

Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho $AM=\frac{a}{2}$, Cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH vuông gốc với mặt phẳng  (ABCD) và SH = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC

A. $\frac{a}{3}$

B. $\frac{2a}{5}$

C. $\frac{2a}{3}$

D. $\frac{a}{2}$

Cho hình chóp S.ABC với AB = SA = a, tất cả các cạnh còn lại bằng b. Độ dài EF (E, F là trung điểm của AB, SC) theo a, b

A. $\frac{b\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{a^2+4b^2}}{2}$

C. $\frac{b\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{a^2+3b^2}}{4}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tự diện CMNP.

Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo OA = OB. Khi đó tỉ số  tổng thể tích của hai hình nón $\left(V_n\right)$  và thể tích hình trụ $\left(V_t\right)$ bằng 

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{2}{5}$

D. $\frac{1}{4}$

Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông (ABCD) cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc . Thể tích của hình trụ bằng

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A,  AB = a và  AC = $a\sqrt{2}$. Biết rằng ((ABC),(AB'C')) = ${60}^{\circ }$ và hình chiếu A lên  (A'B'C') là trung điểm H của A'B'. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB'C'.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a\sqrt{3}$, BD = 3a, hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A'B'C'D') là trung điểm của A'C'. biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD'C') bằng $\frac{\sqrt{21}}{7}$. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'