Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. $V=\frac{a^3}{12}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng 45°. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC.

A. $d=\frac{a\sqrt{10}}{5}$

B. $d=\frac{2a\sqrt{2}}{5}$

C. $d=\frac{a\sqrt{3}}{5}$

D. $d=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình vuông cạnh a và SA$\perp$(ABCD). Biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ . Tính góc giữa SC và (ABCD) 

A. ${30}^o$

B. ${60}^o$

C. ${75}^o$

D. ${45}^o$

Cho hình hộp đứng $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, đường thẳng $D{B}_1$ tạo với mặt phẳng ($BC{B}_1{C}_1$) góc ${30}^o$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$

A. $a^3\sqrt{3}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

C. $8a^3\sqrt{2}$ 

D. $a^3$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN,SC) bằng

A. ${45}^o$

B. ${30}^o$

C. ${90}^o$

D. ${60}^o$

Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng $2\mathrm{\pi }{a}^2$ là:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${\int }_0^1(2x+3)f\text{'}\left(x\right)dx = 15$ và 7f(2) - 5f(1) = 8. Tính $I = {\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật $AB=3, AD=2$. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 

Cho (H) là khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = a . Mặt bên AA'B'B là hình vuông. Thể tích của (H) bằng

A. $\frac{a^3}{8}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{24}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{8}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Cho ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\left({\cos }^{2}x-1\right)d\left(\cos x\right)}{{\cos }^{2}x} = \frac{a}{\sqrt{2}}+2b$   $a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Tính $S = a^4-b^4$

A. S = 80

B. S = 81

C. S = -80

D. S = -81

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ${(x+3)}^2+y^2+{(z-2)}^2=m^2+4$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

Cho hình vuông ABCD có tâm O, cạnh 2a. Trên đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) bằng ${45}^0$. Độ dài SO bằng:

Cho $\int f\left(x\right)dx = e^{2x}-\frac{1}{x}+\ln x + C$, x>0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho khối lăng trụ có thể tích V và chiều cao h. Khi đó diện tích  S của đáy được tính theo công thức

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a, BC=2a$ và $SA=SC$ và $SB=SD$. Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng ${60}^0$. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{1 - {\sin }^{3}x}{{\sin }^{2}x}$.

Một hình nón có diện tích đáy bằng $16\mathrm{\pi }\left({\mathrm{dm}}^2\right)$ và diện tích xung quanh bằng $20\mathrm{\pi }\left({\mathrm{dm}}^2\right)$. Thể tích khối nón bằng: 

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^5-x^3$ và trục hoành.

Tìm a>0 sao cho ${\int }_0^a\frac{x^2-1}{x+1}dx = \frac{3}{2}$.

A. a = 3

C. a = 4

B. a = 5

D. a = 2

Thể tích của một khối cầu có bán kính R là:

Cho ${\int }_2^{9}f\left(x\right)dx = 6$. Tính $I = {\int }_1^2{x}^2.f(x^3+1)dx$.

A. I = 2

B. I = 8

C. I = 4

D. I = 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD). Biết $AB=a, BC=2a$ và $SC=3a$. Tính thể tích khối chóp S.ABCD?

Biết a, b là các số thực thỏa mãn $\int \sqrt{2x+1}dx = a{(2x+1)}^b+C$. Tính P = a.b

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi E là trọng tâm tam giác A’B’C’ và F là trung điểm BC. Tính tỉ số thể tích giữa khối B’.EAF và khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đấy ABC là tam giác vuông cân tại A, biết AA’ = 2a, A’B = 3a. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = 3x^2-e^{-x}$ thỏa mãn F(0)=3

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 2a và góc $\widehat{ABC}$ bằng 30⁰. Độ dài đường sinh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AB là:

Cho ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)dx = 2$ và ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}g\left(x\right)dx = -1$. Tính $I ={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left(2f\right(x)+x\sin x-3g(x\left)\right)dx$

Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng $2\mathrm{\pi }{a}^2$ là:

 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B với AB = a, SA = $a\sqrt{3}$ và $SA\perp \left(ABC\right)$. Gọi M là điểm trên cạnh AB và AM = x (0 < x < a), mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M và vuông góc với AB. Tìm x để diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và hình chóp S.ABC lớn nhất

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = \sqrt{x{e}^x}$ và các đường thẳng x=1; x=2; y=0. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình D xung quanh trục Ox.

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin (2x-1)

Hỏi mệnh đề nào dưới đây là sai?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = -x^2+4$ và y=-x+2

A. 9/2

B.5/7

C.8/3

D. 9

Cho ${\int }_1^{4}f\left(x\right)dx = 9$. Tính tích phân $K = {\int }_0^{1}f(3x+1)dx$

A. K = 3

B. K = 9

C. K = 1

D. K = 27

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc tạo bởi (SAB) và (ABC) bằng 60⁰. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng:

Cho ${\int }_0^1\left(\frac{3}{x+3}-\frac{10}{{(x+3)}^2}\right)dx = 3\ln \frac{a}{b}-\frac{5}{6}$, trong đó a, b là 2 số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ab = – 5

B. ab = 12

C. ab = 6

D. ab = 5/4

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=AA’=a, AC=2a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD') là

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{a\sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc $\widehat{BAC}={60}^0$. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 45⁰. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: