Xét các số thực a, b thỏa mãn $a \ge b > 1$. Biết rằng biểu thức $P = \frac{1}{{\log }_{ab}a} + \sqrt{{\log }_a\frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi b = a^k. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đường con trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đã cho ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $9^x - 3^{x+2} + 2 = m$ có 2 nghiệm thực phân biệt?

A. 20

B. 18

C. 21

D. 19

Cho hai đường cong (C₁): y = 3^x(3^x - m + 2) + m² - 3m và (C₂): y = 3^x + 1. Để (C₁) và (C₂) tiếp xúc nhau thì giá trị của tham số m bằng

Phương trình ${\log }_5 \left(x+5\right) = 2$ có nghiệm là

A. x = 20

B. x = 5

C. x = 27

D. x = 30

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\log }_2 \left(x^2 + 5x - 6\right)$

Tìm tập hợp các giá trị thực của m sao cho bất phương trình log₂x + m $\ge \frac{1}{2}{x}^2$ có nghiệm $x\in \left[1;3\right]$

Cho ${\log }_a b = 2$ và ${\log }_a c = 3$. Giá trị của biểu thức $P = {\log }_a \left(\frac{b^2}{c^3}\right)$ bằng

A. 36.

B. $\frac{4}{9}$.

C. -5.

D. 13.

Cho các số thực x, y, z  thỏa mãn $3^x = 5^x = {15}^{\frac{2017}{x+y}-z}$. Gọi S = xy + yz + zx. Khẳng định nào đúng?

Giả sử x, y là những số thực dương thỏa mãn: log₁₆(x+y) = log₉x = log₁₂y. Tính giá trị của biểu thức $P = 1+\frac{x}{y}+{\left(\frac{x}{y}\right)}^2$

Xét các mệnh đề sau

(1) log₂(x - 1)² + 2log₂(x+1) = 6

<=> 2log₂(x-1) + 2log₂(x+1) = 6

(2) log₂(x²+1) $\ge$1 + log₂|x|; $\forall x\in R$

(3) x^lny = y^lnx; $\forall x>y>2$

$$\begin{gathered} \left(4\right) {\log }_2^{2}2x - 4{\log }_{2}x - 4 =0 \\ \iff {\log }_2^{2}x - 4{\log }_{2}x - 3 = 0 \end{gathered}$$

Số mệnh đề đúng là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Trên hình 2.13, đồ thị của ba hàm số y = a^x, y = b^x, y = c^x (a, b, c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số a, b và c

Biết log₆2 = a, log₆5 = b. Tính I = log₃5 theo a, b.

Tính tổng S = x₁ + x₂ biết x₁, x₂ là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức $2^{x^2-6x+1} = {\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-3}$?

A. S = 4

B. S = 8

C. S = -5

D. S = 2

Tìm n biết $\frac{1}{{\log }_{2}x}+\frac{1}{{\log }_{2^2}x}+\frac{1}{{\log }_{2^3}x}+...+\frac{1}{{\log }_{2^n}x}=\frac{465}{{\log }_{2}x}$ luôn đúng với mọi $x > 0, x\ne 1$.

Tập xác định của hàm số y = ln(-x² + 5x - 6) là

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left|z-i\right|=\sqrt{2} và z^2$ là số thuần ảo

Giải bất phương trình sau ${\log }_{\frac{1}{5}}(3x-5) > {\log }_{\frac{1}{5}}(x+1)$

c $\overline{z}$. Gọi M và M' tương ứng, lần lượt là điểm biểu diễn hình học của z và  $\overline{z}$. Hãy chọn mệnh đề đúng

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn các điều kiện $\left|z-2+i\right|=2 và {(z+i)}^2$ là số thuần ảo?

Cho a là số thực dương khác . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y

Cho số phức z thỏa mãn (1+3i)z-5=7i. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Tìm tập xác định D của hàm số y = log₂₀₁₇(9 - x²) + (2x - 3)^-2018

Cho các số phức $z_{1, }{z}_{2 }$ thỏa mãn $\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{3}, \left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1$. Tính $z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2$

Cho $0 \le x; y \le 1$ thỏa mãn ${2017}^{1-x-y} = \frac{x^2+2018}{x^2-2y+2019}.$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x² + 3y)(4y² + 3x) + 25xy. Khi đó M + m bằng bao nhiêu?

Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiêm S của bất phương trình log_m(2x² + x + 3) $\le$ log_m(3x² - x). Biết rằng x = 1 là một nghiệm của bất phương trình.

Hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số $y = x^{\alpha }, y = x^{\beta }, y = x^{\gamma }$ với điều kiện $x >\hspace{0.17em}0$ và $\alpha , \beta , \gamma$ là các số thực cho trước. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xét các số thực x, y thỏa mãn $x^2 + y^2 > 1$ và ${\log }_{x^2+y^2 } (2x+3y) \ge 1$. Giá trị lớn nhất $P_{max}$ của biểu thức $P = 2x + y$ bằng

Cho phương trình $3^{2x+5} = 3^{x+2} + 2$. Khi đặt $t = 3^{x+1}$, phương trình đã cho trở thành phương trình nào trong các phương trình dưới đây

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là cá điểm xác định bởi $\overrightarrow{MA}=x\overrightarrow{MC\text{'}}$,$\overrightarrow{NC}=y\overrightarrow{ND\text{'}}$ $(x, y\in R)$.  Biết rằng đường thẳng MN song song với B’D. Tính giá trị của biểu thức  $P=x^2+y^2$

Cho hai số thức dương a, b và a ¹ 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a \ne 1$, a $\ne$$\frac{1}{b}$ và ${\log }_{a}b = \sqrt{5}$. Tính P = ${\log }_{\sqrt{ab}}\frac{b}{\sqrt{a}}$.

Tìm số nghiệm thực của phương trình ${{\log }_2}^2 x^2 - {\log }_4 \left(4x^2\right) - 5 = 0$

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB=1, $BC=\sqrt{2}$, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $\alpha$ là số đo của góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAB\right),\left(ABC\right)$. Khi đó $\tan \alpha$ bằng

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\log }_3 \frac{x+1}{x-3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm di động trên cạnh SC (M không trùng S và C), mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa đường thẳng AM song song với BD lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại E và F. Giá trị $T=\frac{SB}{SE}+\frac{SD}{SF}-\frac{SC}{SM}$ bằng

Tìm m để phương trình $4^x - 2m.2^x - 2m + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=1, AD=2 cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=\sqrt{5}$.$\alpha$ là số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD), $\cos \left(\alpha \right)=?$ 

Tổng các nghiệm của phương trình $3^{2x+2} - 4.3^{x+1} + 3 = 0$ là

A. $-1$

B. 1

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB=a, BC=2a$.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích V của khối chóp S.AMN.