Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:

$\mathbf{A}. a\sqrt{\frac{15}{62}}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} a\sqrt{\frac{30}{31}}$

$\mathbf{C}. a\sqrt{\frac{15}{68}}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \mathrm{a}\sqrt{\frac{15}{17}}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

A. 3x+2y+z+14=0 

B. 2x+y+3z+9=0 

C. 3x+2y+z-14=0 

D. 2x+y+z-9=0.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3). Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).

A. I =$2\sqrt{13}$

B. I =$2\sqrt{41}$

C. I= $2\sqrt{26}$

D. I= $2\sqrt{11}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y+z-10 = 0 và đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A(1;3;2) là trung điểm MN. Tính độ dài đoạn MN.

$\mathbf{A}. MN=4\sqrt{33}$

$\mathbf{B}\mathbf{.}\mathbf{ }MN=2\sqrt{26,5}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} MN=4\sqrt{16,5}$

$\mathbf{D}. MN=2\sqrt{33}$

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:

$$\begin{gathered} d_1:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{1} , d_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1}, \\ {d}_3:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1} , d_4:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1} \end{gathered}$$

Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

A. 0. 

B. 2. 

C. Vô số. 

D. 1.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-2; 3). Gọi (S) là mặt cầu chứa A có tâm I thuộc tia Ox và bán kính bằng 7. Phương trình mặt cầu (S) là:

$\mathbf{A}.{\left(x+5\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{B}\mathbf{.} {\left(x+7\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{C}. {\left(x-3\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{D}. {\left(x-7\right)}^2+y^2+z^2=49$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  và điểm M(2; -1; 0). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mp (Oxy) tại điểm M. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu thỏa mãn?

A. 2.  

B. 1. 

C. 0. 

D. Vô số.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; -3; 2), B (3; 5; 4). Tìm toạ độ điểm M trên trục Oz sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M (0; 0; 49).

B. M (0; 0; 67)

C. M (0; 0 ;3)

D. M (0; 0; 0)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và điểm I (0; 1; 1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng Δ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S.

A. 36π

B. $36\sqrt{2}\mathrm{\pi }$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 2x + y - 4z + 1 = 0, đường thẳng d đi qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

$\mathbf{A}\mathbf{.} \left\{\begin{array}{c}x=1+5t\\ y=2-6t\\ z=3+t\end{array}\right.$

$\mathbf{B}. \left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.$

$\mathbf{C}. \left\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=2+6t\\ z=3+t\end{array}\right.$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC =  a$\sqrt{3}$,SA = a và SA vuông góc với đáy ABCD. Tính sinα, với α là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC)

$\mathbf{A}. \sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{8}$

$\mathbf{B}. \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathbf{C}. \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + my + (2m + 1)z – m – 2 = 0, m là tham số. Gọi H (a; b; c) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (P). Tính a + b khi khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất?

A.   a + b = -1/2

B. a + b = 2

C. a + b = 0 

D. a + b = 3/2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=16$  và điểm A (1; 2; 3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

A. 10π

B. 38π

C. 33π

D. 36π

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2 ; 1 ; 0) và đường thẳng $∆:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ . Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M, cắt và vuông góc với Δ là:

$A. d:\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1-4t\\ z=-2t\end{array}\right.$

$\mathbf{B}. d:\left\{\begin{array}{c}x=2-t\\ y=1+t\\ z=t\end{array}\right.$

$\mathbf{C}\mathbf{.} d:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-1-4t\\ z=2t\end{array}\right.$

$\mathbf{D}. d:\left\{\begin{array}{c}x=2+2t\\ y=1+t\\ z=-t\end{array}\right.$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 2; 3), B (2; 1; 0), C (4; 3; -2), D (3; 4; 1), E (1; 1; -1). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?

A. 1 

B. 4  

C. 5 

D. Không tồn tại.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A (1; 0; -1), B (2; 3; -1), C (-2; 1; 1). Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là:

$\mathbf{A}\mathbf{.} \frac{x}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{5}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}}{5}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{2}$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-5}{5}$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (0; 0; -2) và đường thẳng $∆:\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{2}$ . Phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 là:

$\mathbf{A}\mathbf{.} \left(S\right):x^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=16$

$\mathbf{B}. \left(S\right):x^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=25$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\left(S\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=16$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\left(S\right): {\left(x+2\right)}^2+y^2+z^2=25$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; 0; 0), N (1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B (0; b; 0), C (0; 0; c) (b, c > 0). Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A. bc = 2 (b+c)

B.$bc=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

C. bc = b + c

D. bc = b - c

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (2; -3; 2), B (3; 5; 4). Tìm toạ độ điểm M trên trục ?z sao cho MA² + MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M (0; 0; 49) 

B. M (0; 0; 67)

C. M (0; 0 ;3)

D. M (0; 0; 0)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ x – z – 3 = 0 và điểm M (1; 1; 1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz. Gọi B là hình chiếu của A lên (α). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

A.$6\sqrt{3}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{3\sqrt{3}}{12}$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{3\sqrt{123}}{2}$

D.$3\sqrt{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD (tham khảo hình vẽ bên).

Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

$\mathbf{A}\mathbf{.} \frac{2\sqrt{39}}{39}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{\sqrt{3}}{6}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{2\sqrt{39}}{13}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \frac{\sqrt{13}}{13}$

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x + y -2z – 2 – 0, đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2}$  và điểm $A\left(\frac{1}{2};1;1\right)$.  Gọi Δ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α), song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng Δ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng.

A. 7/2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng (α): x + y -z – 2 = 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (α), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d?

$\mathbf{A}\mathbf{.} {∆}_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-4}{3}$

$\mathbf{B}\mathbf{.}\mathbf{ }{∆}_4:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}}{1}$

$\mathbf{C}. {∆}_3:\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{1}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} {∆}_1:\frac{x+2}{-3}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+4}{-1}$

Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 1; 2). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Gọi $\overrightarrow{n}=(1;a;b)$  là một véc tơ pháp tuyến của (P). Tính S = a³ - 2b

A. S = 0

B. S = - 3

C. S = 6

D. S = -15/8

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}={60}^o$. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4 BH. Biết SA tạo với đáy một góc 60⁰. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

A. 60⁰

B. 45⁰

C. 90⁰

D. 30⁰

Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng

Trên đường thẳng d₁ lấy hai điểm A, B thỏa mãn AB = 3  . Trên đường thẳng d₂ lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD = 4. Tính thể tích C của tứ diện ABCD.

A. V = 7

B. V = 2√21

C. $V=\frac{4\sqrt{21}}{3}$

D. $V=\frac{5\sqrt{21}}{6}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): x - 2y + 2z -5 = 0, A (-3; 0; 1), b (1; -1; 3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

$\mathbf{A}\mathbf{.} \frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}}{-1}=\frac{\mathrm{z}-1}{2}$

$\mathbf{B}. \frac{x+3}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{2}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}}{-2}=\frac{\mathrm{z}-1}{2}$

$\mathbf{D}. \frac{x+3}{2}=\frac{y}{-6}=\frac{z-1}{-7}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (-1; -2; 0), B (0; -4; 0), C (0; 0; -3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

$\mathbf{A}. \left(P\right):2x-y+3z=0$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \left(P\right):6x-3y+5z=0$

$\mathit{C}\mathbf{.} \left(P\right):2x-y-3z=0$

$\mathit{D}\mathbf{.} \left(P\right):-6x+3y+4z=0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M (1; 3; -2), cắt các tia Ox, Oy, OZ lần lượt tại A, B, C sao cho $\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}$

$\mathbf{A}. 2x-y-z-1=0$

$\mathit{B}\mathbf{.}\mathbf{ }x+2y+4z+1=0$

$C. 4x+2y+z+1=0$

$\mathbf{D}. 4x+2y+z-8=0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 6z -1 = 0 và hai điểm A (1; -1; 0), B (-1; 0; 1). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?

$\mathbf{A}\mathbf{.} \sqrt{\frac{255}{61}}$

$\mathbf{B}.\sqrt{\frac{237}{41}}$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }\sqrt{\frac{137}{41}}$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\mathbf{ }\sqrt{\frac{155}{61}}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{4}$  và mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=2$ . Hai mặt phẳng (P), (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN bằng?

A. 2$\sqrt{2}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{4\sqrt{3}}{3}$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{2\sqrt{3}}{3}$

D. 4

Cho khối cầu tâm O bán kính 6 cm. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn (C). Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của x bằng:

A. 2 cm. 

B. 3 cm. 

C. 4 cm. 

D. 0 cm.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (3; 4; 5) và mặt phẳng (P): x - y + 2z - 3 = 0. Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là:

A. H (1; 2; 2)

B. H (2; 5; 3)

C. H (6; 7; 8)

D. H (2; -3; -1)

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng${∆}_1:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+t\\ z=-t\end{array}\right.,{∆}_2:\left\{\begin{array}{c}x=4+t\\ y=3-2t\\ z=1-t\end{array}\right.$.Gọi (S) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂. Bán kính mặt cầu (S).

$\mathbf{A}.\frac{\sqrt{10}}{2}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{\sqrt{11}}{2}$

C. 3/2

D. $\sqrt{2}$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (3; 0; 0), B (1; 2; 1) và C (2; -1; 2). Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10; a; b). Tổng a + b là:

A. -2

B. 2

C. 1

D. -1

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-2}$ , $d_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+4}{-1}$và $d_3:\frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{6}$.Đường thẳng song song d₃, cắt d₂ và d₁ có phương trình là:

$\mathbf{A}\mathbf{.}\frac{\mathrm{x}-3}{4}=\frac{\mathrm{y}+1}{1}=\frac{\mathrm{z}-2}{6}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{\mathrm{x}-3}{-4}=\frac{\mathrm{y}+1}{1}=\frac{\mathrm{z}-2}{-6}$

$\mathbf{C}.\frac{x+1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{6}$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\frac{\mathrm{x}-1}{4}=\frac{\mathrm{y}}{-1}=\frac{\mathrm{z}+4}{6}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0; 2; 2), B (2; -2; 0). Gọi I₁ (1; 1; -1) và I₂ (3; 1; 1) là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB. Biết rằng luôn có một mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của (S).

$\mathbf{A}\mathbf{.} R=\frac{\sqrt{219}}{3}$

B. R = 2$\sqrt{2}$

$\mathbf{C}. R=\frac{\sqrt{129}}{3}$

D. R = 2$\sqrt{6}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$ , mặt phẳng (P): x + y - 2z + 5 = 0 và A (1; -1; 2). Đường thẳng Δ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Một vectơ chỉ phương của Δ là:

$\mathbf{A}.\overrightarrow{u}=\left(2;3;2\right)$

$\mathbf{B}.\overrightarrow{u}=\left(1;-1;2\right)$

$\mathbf{C}.\overrightarrow{u}=\left(-3;5;1\right)$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\overrightarrow{u}=\left(4;5;-13\right)$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (-1; 0; 1), B (3; 2; 1), C (5; 3; 7). Gọi M (a; b; c) là điểm thỏa mãn MA = MB và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + b + c

A. P = 4

B. P = 0

C. P = 2

D. P = 5

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2; 3), B (1; 0; -1), C (2; -1; 2). Điểm D thuộc tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng $\frac{3\sqrt{30}}{10}$  có tọa độ là:

A. (0; 0 ; 1)

B. (0; 0 ; 3)

C. (0; 0 ; 2)

D. (0; 0 ; 4)