Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA$\perp$(ABCD), SA=a$\sqrt{3}$. Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có $AB=2a, BC=a$ Biết bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là $\frac{3a}{2}$ Thể tCho hình hộp chữ nhậích của hình hộp chữ nhật là

A. $\frac{a\sqrt[3]{3}}{2}$

B. $4a^3$

C. $2a^3$

D. $\frac{2}{3}{a}^3$

Xét tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi $\alpha , \beta , \gamma$ lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Khi đó, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau M= (3+$co{t}^2\alpha$)(3+$co{t}^2\beta$)(3+$co{t}^2\gamma$)

A. Số khác

B. 48$\sqrt{3}$

C. 48

D. 125

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) bằng:

Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a$\sqrt{2}$. Thể tích của khối chóp là:

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao h=$\sqrt{3}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông BA=BC=a, cạnh bên AA'=a$\sqrt{2}$, M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa AM và B' C là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a$\sqrt{6}$. Gọi a là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Tính sin$\alpha$ ta được kết quả là:

A. $\frac{1}{\sqrt{14}}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{5}$

Cho khối nón có bán kính đáy r=2 chiều cao, h=$\sqrt{3}$. Thể tích của khối nón là

Khối lăng trụ có chiều cao h, diện tích đáy bằng B có thể tích là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi  M,N là trung điểm của SA,SB. Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. 1.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB=AC=a, AA'=a$\sqrt{2}$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’B’C’ là

Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a=4$\sqrt{2}$cm, cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC=2cm. Gọi M,N là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là

Cho tứ diện ABCD có cạnh DA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB=3cm, AC=4cm, AD=$\sqrt{6}$CM, BC=5cm. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là trung điểm của CB, I là giao điểm của AE và BD. Khi đó IG sẽ không song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. (SAC).

B. (SBC).

C. (SCD).

D. (SAD).

Cho hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính R=3cm, góc ở đỉnh của hình nón là $\phi ={120}^0$. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều  SAB, trong đó A,B thuộc đường tròn đáy. Diện tích của tam giác SAB bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên  SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB=2a và $\stackrel{⏜}{BAC}={60}^0$. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân cạnh bằng B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB=BC=a và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD  là

Cho tứ diện ABCD, hỏi có bao nhiêu véctơ khác véctơ $\stackrel{\rightharpoonup }{0}$ mà mỗi véctơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện  ABCD

A. 4.

B. 12.

C. 10.

D. 8.

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại a, AB=AC=a, AA'=2a. Thể tích khối tứ diện A'BB'C là

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Cho hình chóp tam giác đều S và có đường tròn đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng nhau và bằng a, $\stackrel{⏜}{BAD}=\stackrel{⏜}{BAA\text{'}}=\stackrel{⏜}{BAD}={60}^0$. Khoảng cánh giữa hai đường thẳng AC’ và BD bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABC là tam giác vuông,AB=BC=a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC') và (ABC') bằng ${60}^0$ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B'ACC'A' bằng

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 cm. Bán kính của viên billiards đó bằng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B'C' (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O, SO=a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=AA'=a (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ABB'A').

Cho hình chóp S.ABC. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC thỏa mãn $SA=2SM, SB=3SN, SC=2SP$ Biết thể tích S.ABC là $\frac{a^3}{2}$ Thể tích hình chóp S.MNP là

A. $\frac{a^3}{4}$

B. $\frac{2a^3}{7}$

C. $\frac{a^3}{24}$

D. $\frac{a^3}{16}$

Cho khối chóp S.ABCD, hỏi hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp?

A. 4

B. 3

C. 5

D. 2

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình nón có diện tích toàn phần bằng $5{\mathrm{\pi a}}^2$ và bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho

A. 1 = 5a

B. 1 = 4a

C. 1 = 2a

D. 1 = 3a

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA'=h và diện tích của tam giác ABC bằng S. Thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng

Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{5;3\right\}$

A. $12\mathrm{\pi }$

B. $36\mathrm{\pi }$

C. $18\mathrm{\pi }$

D. $24\mathrm{\pi }$

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác cân với góc $\stackrel{⏜}{BAC}={120}^0$, AB=AC=a. Hình chiếu của D trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là $V=\frac{a^3}{16}$

Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính bằng a, tính thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, ABC và E là điểm đối xứng với điểm B qua điểm D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V

Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB=$2\sqrt{3}$ và các cạnh còn lại đều bằng x. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD bằng $2\sqrt{2}$