Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và cạnh $\stackrel{⏜}{BAC}={120}^0$, cạnh bên BB'=a, gọi I là trung điểm của CC’. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB’I) bằng:

A. $\frac{\sqrt{20}}{10}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{30}}{10}$

D. $\frac{\sqrt{30}}{10}$

Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (n$\in$N*, n$\ge$2). Gọi S là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S, biết rằng xác suất chọn một tam giác vuông trong tập S là $\frac{3}{29}$. Tìm n?

A. 20

B. 12

C. 15

D. 10

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA=a và SA vuông góc với đáy. Tang của góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SAB) bằng

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\sqrt{5}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng

A. $a$

B. $a\sqrt{2}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’C’ bằng

A. $a\sqrt{3}$

B. $a$

C. $2a$

D. $a\sqrt{2}$

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc ${60}^o$. Thể tích khối chóp S.ABC là?

A. $\frac{3a^3}{16}$

B. $\frac{a^3}{6}$

C. $\frac{3a^3}{32}$

D. $\frac{a^3}{12}$

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng

Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng $a\sqrt{3}$ và cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối chóp S.ABC theo a là?

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$ 

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{3a^3}{4}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc $\stackrel{⏜}{BAD}={60}^0$, SA=SB=SB=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Giá trị sin$\alpha$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy là $SA=a\sqrt{2}$. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao nhiêu?

A. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$ 

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a,BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằn nhau và bằng $a\sqrt{2}$. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, K là điểm bất kỳ tên AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là?

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

B. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

C. $\frac{a\sqrt{15}}{5}$.

D. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$.

Cho khối cầu tâm O, bán kính 6cm. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng h cắt khối cầu theo một hình tròn (C). Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của h bằng

A. 2cm

B. 3cm

C. 4cm

D. 0cm

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), SA=2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), SA=a$\sqrt{3}$. Góc tạo với mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng

Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{z}=\overrightarrow{AD}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})$ 

B. $\overrightarrow{AG}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})$

C. $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})$

D. $\overrightarrow{AG}=-\frac{2}{3}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})$

Trong không gian, cho tam giác OAB vuông tại O có OA = 4a, OB = 3a. Nếu cho tam giác OAB quay quanh cạnh OA thì mặt nón tạo thành có diện tích xung quanh $S_{xq}$ bằng bao nhiêu?

A. $S_{xq}=9{\mathrm{\pi a}}^2$ 

B. $S_{xq}=16{\mathrm{\pi a}}^2$

C. $S_{xq}=15{\mathrm{\pi a}}^2$

D. $S_{xq}=12{\mathrm{\pi a}}^2$

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng

Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a. Thể tích khối trụ đó bằng

Thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có đường chéo AC'=$\sqrt{6}$ bằng

A. $3\sqrt{3}$ 

B. $2\sqrt{3}$

C. $\sqrt{2}$

D. $2\sqrt{2}$

Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó  thành một cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất ?

Một nhà máy cần sản suất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước. Mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là ?

Cho hình trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc ${60}^0$. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng a.

Cho một khối nón có bán kính đáy là 9cm, góc giữa đường sinh và mặt đáy là ${30}^0$. Tính diện tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với đáy một góc ${60}^0$. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3a.

Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng a

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Trên A’B, kéo dài lấy điểm M sao cho B'M=$\frac{1}{2}$A'B'. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của A’C’ và B’B. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh A’ có thể tích $V_1$ và khối đa diện chứa đỉnh C’ có thể tích $V_2$. Tính $\frac{V_1}{V_2}$. 

Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Dựng đường thẳng $∆$ qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên đường thẳng $∆$ lấy hai điểm S và S’ đối xứng nhau qua O sao cho SA=S'A=a. Cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (S’AB) bằng:

A. $\frac{4}{9}$

B. 0

C. $-\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1, 2, 4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.

A. 6

B. 14

C. 12

D. 10

Cho hình lục giác đều cạnh a, tâm O. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng d (d trung trực của một cạnh)?

A. $V=\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{24}\left(dvtt\right)$ 

B. $V=\frac{7{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{24}\left(dvtt\right)$

C. $V=\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{12}\left(dvtt\right)$

D. $V=\frac{7{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{12}\left(dvtt\right)$

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với đáy một góc ${60}^o$, gọi M là trung điểm của BC. Cosin góc tạo với SM và mặt đáy là?

A. $\cos \phi =\frac{\sqrt{6}}{3}$ 

B. $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{10}}$

C. $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\cos \phi =\frac{3}{\sqrt{10}}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a, $SA\perp \left(ABCD\right)$. Đường thẳng SD tạo với đáy một góc ${45}^o$. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB là?

A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

B. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{a\sqrt{10}}{10}$

D. $\frac{a\sqrt{10}}{5}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB = a; $BC=a\sqrt{2}$. Gọi I là trung điểm của BC. Cosin của góc giữa 2 góc đường thẳng AI và SC là?

A. $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 

B. $-\sqrt{\frac{2}{3}}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{8}$

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh $\sqrt{2}a$. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng ${30}^o$. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD ?

A. $R=\sqrt{2}a$

B. $R=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

C. $R=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$

D. $R=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh $\sqrt{2}a$. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng ${60}^o$. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD ?

A. $R=\sqrt{2}a$

B. $R=a$

C. $R=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$

D. $R=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Một khối hộp chữ nhật (H) có các kích thước là a, b, c. Khối hộp chữ nhật (H') có các kích thước tương ứng lần lượt là $\frac{a}{2},\frac{2b}{3},\frac{3c}{4}$. Khi đó tỉ số thể tích $\frac{V_{(H\text{'})}}{V_{\left(H\right)}}$là?

A. $\frac{1}{24}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{4}$