Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = e^{2x}$

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=27$. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0;-4) và B(2;0;0) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S), đáy là (C) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình dạng ax+by-z+c=0, khi đó a-b+c bằng:

A. -4.

B. 8.

C. 0.

D. 2.

Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): $y = x^2$ tiếp tuyến tại A(1;1) và trục Oy bằng $S_1$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) tiếp tuyến tại A và trục Ox bằng $S_2$ Khi đó, tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng:

A. 1/4

B. 4.

C. 1/3

D. 3.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn ${\int }_1^9\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx = 4$ và ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(\sin x\right)\cos xdx = 2$ Tích phân $I = {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+z^2=4$ và các điểm A(-2;0;-2$\sqrt{2}$), B(-4;-4;0). Biết rằng tập hợp các điểm M thuộc (S) và thỏa mãn $M{A}^2+ \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB}=16$ là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

A. $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{3\sqrt{7}}{4}$. 

D. $\frac{5}{2}$.

Biết $I = {\int }_1^5\frac{dx}{x\sqrt{3x+1}}$ được kết quả I = aln3 + bln5 Giá trị của $2a^2+ab+b^2$ là:

A. 8.

B. 7.

C. 3.

D. 9.

Biết ${\int }_1^e\frac{1+m\ln t}{t}dt = 0$ Khi đó, điều nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 5x+my+4z+n=0 đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: 3x-7y+z-3=0 và $\left(\beta \right)$: x-9y-2z+5=0. Tính m+n

A. 6 

B. -16

C. -3 

D. -4

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 2x^3$ là:

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;1) trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: x-2y+z=0.

A.$\left(2;\frac{5}{2};3\right)$

B. (5;4;3)

C. $\left(\frac{5}{2};2;\frac{3}{2}\right)$ 

D. (1;3;5)

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow{a}=(1;-2;0)$ và $\overrightarrow{b}=(-2;3;1)$. Khẳng định nào sau đây là sai:

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 5x^4+2$ là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa mãn ${\left[f\right(x\left)\right]}^4.{[f\text{'}(x\left)\right]}^2(x^2+1)=1+f^3\left(x\right)$ và f(x)>0 biết f(0) = 2 Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho hàm số y = f(x) có $f\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{x+1}$ . Biết rằng f(0)= 2018. Giá trị của biểu thức f(3)-f(1) bằng:

A. ln2

B. ln4

C. ln3

D. 2ln2

Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right) = a{x}^2+bx+c$ có hai nghiệm thực phân biệt $x_1,x_2$ Tính tích phân ${\int }_{x_1}^{x_2}{(2ax+b)}^3.e^{a{x}^2+bx+c}dx$

Biết ${\int }_0^1\frac{xdx}{\sqrt{5x^2+4}}=\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và phân thức a/b là tối giản. Tính giá trị của biểu $T =a^2+b^2$

A. T =13

B. T = 26

C. T = 29

D. T = 34

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{-2;1\right\}$ thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{x^2+x-2}; f\left(0\right) = \frac{1}{3}$  và f(3)-f(-3) = 0 Tính giá trị của biểu thức T = f(-4)+f(-1)-f(4)

Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên R thỏa mãn ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 2018$ và g(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn $g\left(x\right)+g(-x) = 1$ Tính tích phân $I = {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right).g\left(x\right)dx$

A. I = 2018

B. I = 504,5

C. I =4036

D. I = 1008

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y =0; y = \sqrt{x}; y= x-2$

A. $\frac{8\mathrm{\pi }}{3}$

B. $\frac{16\mathrm{\pi }}{3}$

C. $10\mathrm{\pi }$

D. $8\mathrm{\pi }$

Biết ${\int }_0^{3}x.\ln (x^2+16)dx = a\ln 5 + b\ln 2 + \frac{c}{2}$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T = a+b+c

A. T = 2

B. T = -16

C. T = -2

D. T = 16

Trong không gian Oxyz, cho 2 véc tơ $\overrightarrow{u}=(1;a;2),\overrightarrow{v}=(-3;9;b)$ cùng phương. Tính $a^2+b$.

A. 15.

B. 3.  

C. 0 .

D. Không tính được.

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(4;2;0), B(2;3;1)?

A. $\frac{x-2}{-2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{1}$

B. $\frac{x}{-2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-2}{1}$

C.$\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=4+t\\ z=2+t\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=2+t\\ z=t\end{array}\right.$

Cho hàm số $y = \frac{x-m^2}{x+1}$ (với m là tham số khác 0) có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn S = 1?

A. Hai.

B. Ba.

C. Một.

D. Không

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi $\left(H_1\right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y =\frac{x^2}{4}$; $y =\frac{-x^2}{4}$; x=4; x = -4

và $\left(H_2\right)$ là hình gồm tất cả các điểm (x;y)  thỏa mãn $x^2+y^2\le 16; x^2+{(y-2)}^2\ge 4; x^2+{(y+2)}^2\ge 4$

Cho $\left(H_1\right)$ và $\left(H_2\right)$ quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là $V_1,V_2$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, véc tơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véc tơ $\overrightarrow{u}=(-1;0;2),\overrightarrow{v}=(4;0;-1)$?

A. $\overrightarrow{w}$=(0;7;1) 

B. $\overrightarrow{w}$=(1;7;1)  

C. $\overrightarrow{w}$=(0;-1;0)

D.$\overrightarrow{w}$ =(-1;7-1)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: x-2y+3z+1=0. là:

A. (3;-2;1)

C. (1;-2;3)

C. (1;2;-3)

D. (1;-2;-3)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=t\end{array}\right., d\text{'}: \left\{\begin{array}{l}x=2t\text{'}\\ y=1+t\text{'}\\ z= 2+t\text{'}\end{array}\right.$. Đường thẳng $∆$  cắt d, d' lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $∆$ là

A. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{3}$

B.$\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{3}$

C.$\frac{x}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{-3}$

D. $\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R vàvà $\forall x\in [0;2018]$, ta có f(x)>0 và f(x).f(2018-x)=1 . Giá trị của tích phân $I = {\int }_0^{2018}\frac{1}{1+f\left(x\right)}dx$

A. 2018.

B. 0.

C. 1009.

D. 4016.

Cho ${\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx = 2$; ${\int }_{-1}^{7}f\left(t\right)dt = 9$. Giá trị của ${\int }_2^{7}f\left(z\right)dz$ là

A. 7.

B. 3.

C. 11.

D. 5.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$ thỏa mãn: $x^2{f}^2\left(x\right)+(2x-1)f\left(x\right) = xf\text{'}\left(x\right) - 1$ đồng thời $f\left(1\right) = -2$ Tính ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-m}{2}$ và mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất.

A. m = 1

B. m = 0

C. $m=-\frac{1}{3}$

D. $m=\frac{1}{3}$

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{x+x\cos x-{\sin }^{3}x}{1+\cos x}dx = \frac{{\mathrm{\pi }}^2}{3}-\frac{b}{c}$ Trong đó a, b, c là các số nguyên dương, phân số b/c tối giản. Tính $T = a^2+b^2+c^2$

A. T =16

B. T = 59

C. T =69

D. T = 50

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=6$ tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x+y+2z+5=0, (Q): 2x-y+z-5=0 lần lượt tại các điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB là

A. 3$\sqrt{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2\sqrt{6}$ 

D. 2$\sqrt{3}$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 2$; ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx = 6$ Tính ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx$

A. I = 8 

B. I = 12

C. I = 36

D. I = 4

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-1), đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng (P): x+y+2z+1=0. Điểm B thuộc mặt phẳng (P) thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d. Tọa độ điểm B là

A. (3;-2;-1)

B.  (-3;8;-3)

C. (0;3;-2) 

D.  (6;-7;0)

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {(x-3)}^2$ , trục tung và trục hoành. Gọi $k_1, k_2 (k_1<k_2)$ là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A(0;9) và chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính $k_1-k_2$

A. 13/2.

B. 7.

C. 25/4. 

D. 27/4.

Cho biết ${\int }_0^1\frac{x^2.e^x}{{(x+2)}^2}dx=\frac{a}{b}e+c$ với a,c là các số nguyên , b là số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Tính a-b+c

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. -3.

Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x=4; x=9 và đường cong có phương trình $y^2 = 8x$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên R và f(0) = 0 $f\left(x\right) + f(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x) = \sin x. \cos x$, với mọi $x\in R$. Giá trị tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng

A. $\frac{-\mathrm{\pi }}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

D. $\frac{-1}{4}$