e) $y=\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)$ tại điểm x₀ = 0.

d) $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ tại điểm $x_0=\frac{\pi }{6};$

c) y = e^{4x + 3} tại điểm x₀ = 1;

b) y = log₃(2x + 1) tại điểm x₀ = 3;

Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) y = 3x² – 4x + 5 tại điểm x₀ = –2;

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{2x+3};$                

b) Tính tỉ số $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ trong khoảng thời gian ∆t = t₁ – t₀.

Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động $s=\frac{1}{2}g{t}^2,$ trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s².

a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t₀ = 4 (s); t₁ = 4,1 (s).

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin3x.

b) Tìm đạo hàm của hàm số y'.

Xét hàm số y = x³ – 4x² + 5.

a) Tìm y'.

Khi tham gia giao thông, một ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h (Hình 6) thì tài xế thấy một vật cản phía trước. Để tránh va chạm vật cản, người tài xế đã hãm phanh, ô tô giảm vận tốc cho đến khi dừng hẳn.

Đại lượng đặc trưng cho sự giảm vận tốc thể hiện kiến thức gì trong toán học?

Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q₀. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q₀sinωt, trong đó ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t). Cho biết Q₀ = 10^–8 (C) và ω = 10⁶π (rad/s). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) (tính chính xác đến 10^–5 mA).

Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v₀ = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/s²)?

c) y = e^x tại điểm có hoành độ x₀ = 0.

b) y = lnx tại điểm có hoành độ x₀ = e;

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 4 tại điểm có hoành độ x₀ = 2;

b) y = log₂(2x + 1) + 3^{−2x + 1}.

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = sin3x + sin²x;

b) Tìm đạo hàm của f(x).

Cho hàm số f(x) = 2^{3x + 2}.

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của các hàm số nào?

e) y = 4^x + 2e^x ;                                     

c) $y=-2x\sqrt{x};$                                       

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = 4x³ – 3x² + 2x + 10;               

Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Chứng minh rằng (u . v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

a) (u + v + w)' = u' + v' + w';

b) (u + v – w)' = u' + v' – w';

c) (uv)' = u'v';

d) ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{v^{\text{'}}}$ với v = v(x) ≠ 0, v' = v'(x) ≠ 0.

b) y = log₃(2x – 3).

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = e^{3x + 1};

Hàm số y = log₂(3x + 1) là hàm hợp của hai hàm số nào?

b) Xác định hàm số y = f(g(x)).

Cho hàm số y = f(u) = sinu; u = g(x) = x².

a) Bằng cách thay đổi u bởi x² trong biểu thức sinu, hãy biểu thị giá trị của u theo biến số x.

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx + cotx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{3}.$

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.

b) Nêu nhận xét về h'(x₀) và f'(x₀) + g’(x₀).

Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b) cùng có đạo hàm tại điểm x₀ ∈ (a; b).

a) Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x), x ∈ (a; b). So sánh:

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{h\left(x_0+\Delta x\right)-h\left(x_0\right)}{\Delta x}$ và $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}.$