Tìm a biết $I={\int }_{-1}^2\frac{e^{x}dx}{2+e^x}=\ln \frac{ae+e^3}{ae+b}$ với a, b là các số nguyên dương

A. a = 1

B. $a = -\frac{1}{3}$

C. a = 2

D. a = -2

Tính tích phân $I={\int }_2^{2\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{x\sqrt{x^2-3}}dx$ ta được

A. $I=\mathrm{\pi }$

B. $I=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

C. $I=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

D. $I=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ 

Nếu ${\int }_0^m(2x-1)dx = 2$ thì m có giá trị bằng

A. $\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\end{array}\right.$

B. $\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=2\end{array}\right.$

C. $\left[\begin{array}{c}m=-1\\ m=2\end{array}\right.$

D. $\left[\begin{array}{c}m=-1\\ m=-2\end{array}\right.$ 

Tích phân $I={\int }_0^1\frac{1}{x^2-x-2}dx$ có giá trị bằng:

A. $\frac{2\ln 2}{3}$

B. $-\frac{2\ln 2}{3}$ 

C. -2ln2

D. 2ln2

Tích phân $I={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{dx}{\sin x}$ có giá trị bằng

A. $\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}$

B. $2\ln 3$

C. $\ln \sqrt{3}$

D. $2\ln \frac{1}{3}$ 

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$ đạt giá trị bằng 0

A. f(x) = cos3x

B. f(x) = sin3x

C. $f\left(x\right) = \cos \left(\frac{x}{4}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

D. $f\left(x\right) = \sin \left(\frac{x}{4}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ 

Tính tích phân $I={\int }_{\ln 2}^{\ln 5}\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}}dx$ bằng phương pháp đổi biến số $u=\sqrt{e^x-1}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $I=\left(\frac{u^3}{3}+u\right){|}_1^2$

B. $I=\frac{4}{3}\left(u^3+u\right){|}_1^2$

C. $I=\frac{1}{3}\left(\frac{u^3}{3}+u\right){|}_1^2$

D. $I=2\left(\frac{u^3}{3}+u\right){|}_1^2$ 

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin x\sqrt{8+\cos x}dx$. Đặt u=8+cosx thì kết quả nào sau đây là đúng?

A. $I=2{\int }_8^9\sqrt{u}du$

B. $I=\frac{1}{2}{\int }_8^9\sqrt{u}du$

C. $I=2{\int }_9^8\sqrt{u}du$

D. $I={\int }_8^9\sqrt{u}du$ 

Tính tích phân $I={\int }_0^{\mathrm{\pi }}co{s}^{3}xsinxdx$

A. $I=-\frac{1}{4}{\mathrm{\pi }}^4$

B. $I=-{\mathrm{\pi }}^4$

C. $I=0$

D. $I=-\frac{1}{4}$ 

Biết rằng $I={\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx=lna$ với $a\in R$. Khi đó giá trị của a bằng:

A. a = 2

B. $a=\frac{1}{2}$

C. $a=\sqrt{2}$ 

D. a = 4

Cho $\frac{\mathrm{\pi }}{m}- {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}} x\cos xdx = 1$. Khi đó giá trị $9m^2-6$ bằng

A. 3

B. 30

C. -3

D. -30

Cho $F\left(x\right)=x^2$ là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)e^{2x}$ và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện f(0)=-1, f(1)=0. Tính tích phân $I={\int }_0^{1}f\text{'}\left(x\right)e^{2x}dx$

A. I = 0

B. I = -1

C. I = 1

D. I = 2

Đổi biến u = lnx thì tích phân $I={\int }_1^e\frac{1-\ln x}{x^2}dx$ thành

A. $I={\int }_1^0\left(1-u\right)du$

B. $I={\int }_0^1\left(1-u\right)e^{-u}du$

C. $I={\int }_1^0\left(1-u\right)e^{-u}du$

D. $I={\int }_1^0\left(1-u\right)e^{2u}du$ 

Nếu tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}{\sin }^{n}x\cos xdx$, đặt t=sinx thì tích phân đã cho có dạng:

A. $I=\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}{t}^{n}dt$

B. $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{n}dt$

C. $I=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{0}{\int }}{t}^{n}dt$

D. $I=\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}{t}^{n+1}dt$ 

Cho F(x) là nguyên hàm của f(x). Phát biểu nào sau đây đúng

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b-a\right)$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)+C$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)+F\left(a\right)$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ 

Tính ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$, biết F(x) là nguyên hàm của f(x) và F(1)=2, F(0)=1

A. $\frac{1}{2}$

B. $-\frac{1}{2}$

C. 1

D. -1

Cho tích phân $I={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{x}^{2}cosxdx$ và $u=x^2;dv=cosxdx$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $I=x^2\sin x{|}_0^{\mathrm{\pi }}-{\int }_0^{\mathrm{\pi }}x\sin xdx$

B. $I=x^2\sin x{|}_0^{\mathrm{\pi }}+2{\int }_0^{\mathrm{\pi }}x\sin xdx$

C. $I=-x^2\sin x{|}_0^{\mathrm{\pi }}-2{\int }_0^{\mathrm{\pi }}x\sin xdx$

D. $I=x^2\sin x{|}_0^{\mathrm{\pi }}-2{\int }_0^{\mathrm{\pi }}x\sin xdx$ 

Cho f(x), g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện ${\int }_0^{1}g\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)dx=1, {\int }_0^{1}g\text{'}\left(x\right).f\left(x\right)dx=2$. Tính tích phân $I={\int }_0^1\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]\text{'}dx$?

A. I = 2

B. I = 1

C. I = 3

D. I = -1

Để tính $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{x}^{2}cosxdx$ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt:

A. $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=x\cos xdx\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}u=x^2\\ dv=\cos xdx\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}u=\cos x\\ dv=x^{2}dx\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}u=x^2\cos x\\ dv=dx\end{array}\right.$ 

Cho tích phân $I={\int }_a^b f\left(x\right).g\text{'}\left(x\right)dx$, nếu đặt $\left\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=g\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right.$ thì

A. $I=f\left(x\right).g\text{'}\left(x\right){|}_a^b-{\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right).g\left(x\right)dx$

B. $I=f\left(x\right).g\left(x\right){|}_a^b-{\int }_a^{b}f\left(x\right).g\left(x\right)dx$

C. $I=f\left(x\right).g\left(x\right){|}_a^b-{\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right).g\left(x\right)dx$

D. $I=f\left(x\right).g\text{'}\left(x\right){|}_a^b-{\int }_a^{b}f\left(x\right).g\text{'}\left(x\right)dx$ 

Cho ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=-1$, tính $I={\int }_0^{1}f\left(4x\right)dx$

A. $I=-\frac{1}{2}$

B. $I=-\frac{1}{4}$

C. $I=\frac{1}{4}$

D. $I=2$ 

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và $u\left(x\right)=\left[\alpha ;\beta \right]\forall x\in \left[a;b\right]$ hơn nữa f(u) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ${\int }_a^{b}f\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)dx={\int }_{u\left(a\right)}^{u\left(b\right)}f\left(u\right)du$

B. ${\int }_a^{b}f\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(u\right)du$

C. ${\int }_{u\left(a\right)}^{u\left(b\right)}f\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(u\right)du$

D. ${\int }_a^{b}f\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(u\right)du$ 

Hàm số y = f (x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:

A. ${\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)e^{f\left(x\right)}dx=0$

B. ${\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)e^{f\left(x\right)}dx=1$

C. ${\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)e^{f\left(x\right)}dx=-1$

D. ${\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)e^{f\left(x\right)}dx=2$ 

Tích phân $I={\int }_2^5\frac{dx}{x}$ có giá trị bằng:

A. 3ln3

B. $\frac{1}{3}3\ln 3$

C. $\ln \frac{5}{2}$

D. $\ln \frac{2}{5}$ 

Tích phân ${\int }_1^3{e}^{x}dx$ bằng:

A. $e^{-2}$

B. $e^3-e$

C. $e-e^3$

D. $e^2$ 

Cho số thực a thỏa mãn ${\int }_{-a}^1{e}^{x+1}dx=e^2-1$, khi đó a có giá trị bằng

A. 1

B. -1

C. 0

D. 2

Cho $I=\int x^3\sqrt{x^2+5}dx$, đặt $u=\sqrt{x^2+5}$ khi đó viết I theo u và du ta được:

A. $\int \left(u^4+5u^3\right)du$

B. $\int \left(u^4-5u^3\right)du$

C. $\int u^{2}du$

D. $\int \left(u^4-5u^{{}^2}\right)du$ 

Cho $f\left(x\right)=\sin 2x\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$. Nếu đặt $\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=t$ thì:

A. $f\left(x\right)dx=-tdt$

B. $f\left(x\right)dx=2tdt$

C. $f\left(x\right)dx=-2t^{2}dt$

D. $f\left(x\right)dx=2t^{2}dt$ 

Nếu $t=x^2$ thì:

A. $xf\left(x^2\right)dx=f\left(t\right)dt$

B. $xf\left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}f\left(t\right)dt$

C. $xf\left(x^2\right)dx=2f\left(t\right)dt$

D. $xf\left(x^2\right)dx=f^2\left(t\right)dt$ 

Cho nguyên hàm $\int 2xf\left(x^2\right)dx$. Nếu đặt $t=x^2$ thì

A. $\int 2xf\left(x^2\right)dx=\int f\left(t\right)dt$

B. $\int 2xf\left(x^2\right)dx=2\int f\left(t\right)dt$

C. $\int 2xf\left(x^2\right)dx=2t\int f\left(t\right)dt$

D. $\int 2xf\left(x^2\right)dx=2\int tf\left(t\right)dt$ 

Cho $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$. Khi đó $\int f\left(2x-3\right)dx$

A. $F\left(2x-3\right)+C$

B. $\frac{1}{2}F\left(2x-3\right)+C$

C. $\frac{1}{2}F\left(2x\right)-3+C$

D. $F\left(2x\right)-3+C$ 

Biến $\int f\left(x\right)dx=2x\ln \left(3x-1\right)+C$ với $x\in \left(\frac{1}{9};+\infty \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\int f\left(3x\right)dx=2x\ln \left(9x-1\right)+C$

B. $\int f\left(3x\right)dx=6x\ln \left(3x-1\right)+C$

C. $\int f\left(3x\right)dx=6x\ln \left(9x-1\right)+C$

D. $\int f\left(3x\right)dx=3x\ln \left(9x-1\right)+C$ 

Nếu u(t)=v(x) thì:

A. $dt=\frac{v\left(x\right)}{u\left(t\right)}dx$

B. $dt=\frac{v\text{'}\left(x\right)}{u\text{'}\left(t\right)}dx$

C. $dx=\frac{v\left(x\right)}{u\left(t\right)}dt$

D. $dx=\frac{v\text{'}\left(x\right)}{u\text{'}\left(t\right)}dt$ 

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và $f\left(0\right)=1,F\left(x\right)=f\left(x\right)-e^x-x$ là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:

A. $\left(x+1\right)e^x+C$

B. $\left(x+1\right)e^x-x+C$

C. $\left(x+2\right)e^x-x+C$

D. $\left(x+1\right)e^x+x+C$ 

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: $f\left(0\right)=2\sqrt{2},f\left(x\right)>0,\forall x\in R$ và $f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)=\left(2x+1\right)\sqrt{1+f^2\left(x\right)}, \forall x\in R$. Khi đó giá trị f(1) bằng:

A. $\sqrt{15}$

B. $\sqrt{23}$

C. $\sqrt{24}$

D. $\sqrt{26}$ 

Cho hàm số y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên $\left(0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f\left(1\right)=1;f\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)\sqrt{3x+1}$ với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $2<f\left(5\right)<3$

B. $4<f\left(5\right)<5$

C. $1<f\left(5\right)<2$

D. $3<f\left(5\right)<4$ 

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x\left(x+2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}?$

A. $\frac{x^2+x-1}{x+1}$

B. $\frac{x^2-x-1}{x+1}$

C. $\frac{x^2+x+1}{x+1}$

D. $\frac{x^2}{x+1}$ 

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f’(x) = 2-5sinx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f\left(x\right)=2x+5\cos x+5$

B. $f\left(x\right)=2x+5\cos x-3$

C. $f\left(x\right)=2x-5\cos x+10$

D. $f\left(x\right)=2x-5\cos x+15$ 

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2+2x-3$ thỏa mãn F(0)=4, giá trị của F(1)= ?

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{5}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{7}{2}$ 

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = 6x+\sin 3x$, biết $F\left(0\right)=\frac{2}{3}$

A. $F\left(x\right)=3x^2-\frac{\cos 3x}{3}+\frac{2}{3}$

B. $F\left(x\right)=3x^2-\frac{\cos 3x}{3}-1$

C. $F\left(x\right)=3x^2+\frac{\cos 3x}{3}+1$

D. $F\left(x\right)=3x^2-\frac{\cos 3x}{3}+1$