Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left(-3;0;0\right),B\left(0;0;3\right),C\left(0;-3;0\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0$. Tìm trên (P) điểm M sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất

A. $M\left(3;3;-3\right)$

B. $M\left(-3;-3;3\right)$

C. $M\left(3;-3;3\right)$

D. $M\left(-3;3;3\right)$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left(0;0;-2\right),B\left(4;0;0\right)$. Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là:

A. $I\left(2;0;-1\right)$

B. $I\left(2;0;0\right)$

C. $I\left(0;0;-1\right)$

D. $I\left(\frac{4}{3};0;-\frac{2}{3}\right)$ 

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C (không trùng O) lần lượt thay đổi trên các trục Ox, Oy, Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối OABC bằng $\frac{3}{2}$. Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng:

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC = a, ABC = 1200. Cạnh bên $SD=a\sqrt{3}$ và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng (SAC)

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{7}$ 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z+1=0$. Đường thẳng $∆$ đi qua $E\left(-2;1;-2\right)$ song song với (P) đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng $∆$ có một vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(m;n;1\right)$. Tính $T=m^2-n^2$

A. T = -5

B. T = 4

C. T = 3

D. T = -4

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;3;3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $\cup \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{-1}$, phương trình đường phân giác trong của góc C là: $\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}{-1}$. Đường thẳng AB có vec tơ chỉ phương là:

A. $\overrightarrow{u_3}\left(2;1;-1\right)$

B. $\overrightarrow{u_2}\left(1;-1;0\right)$

C. $\overrightarrow{u_4}\left(0;1;-1\right)$

D. $\overrightarrow{u_1}\left(1;2;1\right)$ 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;3;-2) và B(-3;7;-18) mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z+1=0$. Điểm $M\left(a;b;c\right)\in \left(P\right)$ sao cho mặt phẳng (ABM) vuông góc với (P) và $M{A}^2+M{B}^2=246$. Tính $S=a+b+c$

A. 0

B. -1

C. 10

D. 13

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): 2x+6y+z-3 = 0 cắt trục Oz và đường thẳng $d:\frac{x-5}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-6}{-1}$ lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+5\right)}^2=36$

B. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=9$

C. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+5\right)}^2=9$

D. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;3\right)$. Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON=1. Biết rằng N luôn thuộc mặt cầu cố định. Viết phương trình mặt cầu đó?

A. ${\left(x-\frac{36}{49}\right)}^2+{\left(y-\frac{18}{49}\right)}^2+{\left(z-\frac{12}{49}\right)}^2=\frac{25}{49}$

B. ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(z-\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{49}{144}$

C. $x^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=4$

D. $x^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=4$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:

A. $x+y+z-6=0$

B. $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=0$

C. $3x+2y+z-14=0$

D. $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y-2z-2=0$, đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2}$ và điểm $A\left(\frac{1}{2};1;1\right)$. Gọi $∆$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng $∆$ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{7}{2}$

C. $\frac{\sqrt{21}}{2}$

D. $\frac{3}{2}$ 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6;-2), B(5;10;-9) và mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+2y+z-12=0$. Điểm M di động trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ sao cho MA, MB luôn tạo với $\left(\alpha \right)$ các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn $\left(\omega \right)$ cố định. Hoành độ của tâm đường tròn $\left(\omega \right)$ bằng:

A. $\frac{9}{2}$

B. 2

C. 10

D. 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

A. $\frac{2\sqrt{39}}{39}$

B. $\frac{\sqrt{13}}{13}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{2\sqrt{39}}{13}$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-z-3=0$ và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A lên $\left(\alpha \right)$. Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB là:

A. $\frac{3\sqrt{123}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{123}}{2}$

C. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

D. $3\sqrt{3}$ 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng:

A. $\sqrt{5}a$

B. $\frac{\sqrt{5}a}{5}$

C. 3a

D. $\frac{a}{3}$ 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-m}{2}$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất.

A. m = 1

B. $m=-\frac{1}{3}$

C. m = 0

D. $m=\frac{1}{3}$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2-t\\ z=t\end{array}\right.,d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=2t\text{'}\\ y=1+t\text{'}\\ z=2+t\text{'}\end{array}\right.$.

Đường thẳng $∆$ cắt d, d’ lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $∆$ là:

A. $\frac{x}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{-3}$

B. $\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}$

C. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{3}$

D. $\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{3}$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=6$, tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left(P\right):x+y+2z+5=0,\left(Q\right):2x-y+z-5=0$ lần lượt tại các tiếp điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB là:

A. $2\sqrt{3}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2\sqrt{6}$

D. $3\sqrt{2}$ 

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1), đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+2z+1=0$. Điểm B thuộc mặt phẳng (P) thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d. Tọa độ điểm B là:

A. $\left(6;-7;0\right)$

B. $\left(3;-2;-1\right)$

C. $\left(-3;8;-3\right)$

D. $\left(0;3;-2\right)$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60°,\widehat{BMC}=90°;\widehat{CMA}=120°$ có dạng M(a;b;c) với a < 0. Tổng $a+b+c$ bằng:

A. 2

B. -2

C. 1

D. $\frac{10}{3}$

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;3;-2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho $OA=OB=OC\ne 0$

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng $\left(d\right):\left\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=1-t\\ z=2t\end{array}\right.$. Một điểm M thay đổi trên d. Biết giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi tam giác MAB là số có dạng $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ với a, b là các số nguyên. Khi đó:

A. $a+b=40$

B. $a+b=38$

C. $\left|a-b\right|=10$ 

D. $\left|a-b\right|=12$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C $\left(A,B,C\ne 0\right)$ sao cho thể tích của tứ diện OABC nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

A. $\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1$

B. $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$

C. $\frac{x}{2}+\frac{y}{6}+\frac{z}{18}=1$

D. $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=1+4t\\ z=1\end{array}\right.$. Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua điểm $A\left(1;1;1\right)$ và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-2;1;2\right)$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng d và $∆$ có phương trình là:

A. $\left\{\begin{array}{c}x=1+27t\\ y=1+t\\ z=1+t\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}x=-18+19t\\ y=-6+7t\\ z=11-10t\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}x=-18+19t\\ y=-6+7t\\ z=-11-10t\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=1+17t\\ z=1+10t\end{array}\right.$ 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho $MO=\frac{1}{2}MI$. Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng:

A. $\frac{17\sqrt{13}}{65}$

B. $\frac{6\sqrt{85}}{85}$

C. $\frac{7\sqrt{85}}{85}$

D. $\frac{6\sqrt{13}}{65}$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=16$ và điểm $A\left(-1;-1;-1\right)$. Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:

A. $3x+4y-2=0$

B. $3x+4y+2=0$

C. $6x+8y+11=0$

D. $6x+8y-11=0$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-1;0;2) và đi qua điểm A(0;1;1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng:

A. $\frac{8}{3}$

B. 4

C. $\frac{4}{3}$ 

D. 8

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và hai điểm $A\left(1;2;-5\right),B\left(-1;0;2\right)$. Biết điểm M thuộc $\Delta$ sao cho biểu thức $T=\left|MA-MB\right|$ đạt GTLN là: $T_{\max }$. Khi đó, $T_{\max }$ bằng bao nhiêu?

A. $T_{\max }=\sqrt{57}$

B. $T_{\max }=3\sqrt{6}$

C. $T_{\max }=3$

D. $T_{\max }=2\sqrt{6}-3$ 

Trong không gian Oxyz, cho măt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y-2z+9=0$ và ba điểm $A\left(2;1;0\right),B\left(0;2;1\right),C\left(1;3;-1\right)$. Điểm $M\in \left(\alpha \right)$ sao cho $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $x_M+y_M+z_M=3$

B. $x_M+y_M+z_M=4$

C. $x_M+y_M+z_M=2$

D. $x_M+y_M+z_M=1$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;-2;4). Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy là điểm:

A. $P\left(0;0;4\right)$

B. $Q\left(1;0;0\right)$

C. $N\left(0;-2;0\right)$

D. $M\left(0;-2;4\right)$ 

Cho các vec tơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;3\right);\overrightarrow{b}=\left(-2;4;1\right);\overrightarrow{c}=\left(-1;3;4\right)$. Vec tơ $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$ là:

A. $\overrightarrow{v}=\left(7;3;23\right)$

B. $\overrightarrow{v}=\left(23;7;3\right)$

C. $\overrightarrow{v}=\left(7;23;3\right)$

D. $\overrightarrow{v}=\left(3;7;23\right)$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vec tơ $\overrightarrow{a}=\left(2;3;-5\right),\overrightarrow{b}=\left(0;-3;4\right),\overrightarrow{c}=\left(1;-2;3\right)$. Tọa độ vec tơ $\overrightarrow{n}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ là:

A. $\overrightarrow{n}=\left(5;1;-10\right)$

B. $\overrightarrow{n}=\left(7;1;-4\right)$

C. $\overrightarrow{n}=\left(5;5;-10\right)$

D. $\overrightarrow{n}=\left(5;-5;-10\right)$ 

Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng $\frac{x-1}{2}=y=\frac{z+1}{-1}$ là:

A. $\left(1;0;-1\right)$

B. $\left(-2;1;1\right)$

C. $\left(2;0;-1\right)$

D. $\left(2;1;-1\right)$ 

Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình $\left(S\right):{\left(x-5\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-7\right)}^2=72$ và điểm B(1;1;-9). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow{n}=\left(1;m;n\right)$ là vec tơ pháp tuyến của (P). Lúc đó:

A. $mn=\frac{276}{49}$

B. $mn=-\frac{276}{49}$ 

C. mn = 4

D. mn = -4

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y+4z-1=0$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z-m=0$. Tìm tất cả m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

A. m = -4

B. m = 0

C. m = 4

D. m = 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y+z+3=0$. Gọi M(a;b;c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó:

A. $a+b+c=5$ 

B. $a+b+c=6$

C. $a+b+c=7$

D. $a+b+c=8$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+5=0$. Tiếp diện của (S) tại điểm $M\left(-1;2;0\right)$ có phương trình là:

A. 2x + y = 0

B. x = 0

C. y = 0

D. z = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$. Giả sử $M\in \left(P\right)$ và $N\in \left(S\right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vec tơ $\overrightarrow{u}=\left(1;0;1\right)$ và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN

A. 3

B. $1+2\sqrt{2}$

C. $3\sqrt{2}$ 

D. 14

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I\left(3;2;-1\right)$ và đi qua điểm $A\left(2;1;2\right)$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

A. $x+y-3z-8=0$

B. $x-y-3z+3=0$

C. $x+y+3z-9=0$

D. $x+y-3z+3=0$