Cho đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=\mathrm{t}\end{array}\left(\mathrm{t}\in \mathrm{R}\right)\right.$. Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng d?

A. $\left(-1;-1;1\right)$

B. $\left(-1;1;1\right)$

C. $\left(0;1;1\right)$

D. $\left(0;1;0\right)$

Đường thẳng đi qua điểm $\left(-{\mathrm{x}}_0;-{\mathrm{y}}_0;-{\mathrm{z}}_0\right)$ và có VTCP $\left(-\mathrm{a};-\mathrm{b};-\mathrm{c}\right)$ có phương trình:

A. $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_0}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_0}{\mathrm{c}}$

B. $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}{-\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_0}{-\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_0}{-\mathrm{c}}$

C. $\frac{\mathrm{x}+{\mathrm{x}}_0}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}+{\mathrm{y}}_0}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}+{\mathrm{z}}_0}{\mathrm{c}}$

D. $\frac{\mathrm{x}+{\mathrm{x}}_0}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}+{\mathrm{y}}_0}{-\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}+{\mathrm{z}}_0}{\mathrm{c}}$

Đường thẳng $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_0}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_0}{\mathrm{c}}$ đi qua điểm

A. $\left(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\right)$

B. $\left(\mathrm{a};-\mathrm{b};\mathrm{c}\right)$

C. $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0;{\mathrm{z}}_0\right)$

D. $\left(-{\mathrm{x}}_0;-{\mathrm{y}}_0;-{\mathrm{z}}_0\right)$

Đường thẳng $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_0}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_0}{\mathrm{c}}$ có một VTCP là:

A. $\left(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\right)$

B. $\left(\mathrm{a};-\mathrm{b};\mathrm{c}\right)$

C. $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0;{\mathrm{z}}_0\right)$

D. $\left(-{\mathrm{x}}_0;-{\mathrm{y}}_0;-{\mathrm{z}}_0\right)$

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $\mathrm{M}\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0;{\mathrm{z}}_0\right)$ và có VTCP $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\right)$ là:

A. $\frac{\mathrm{x}-\mathrm{a}}{{\mathrm{x}}_0}=\frac{\mathrm{y}-\mathrm{b}}{{\mathrm{y}}_0}=\frac{\mathrm{z}-\mathrm{c}}{{\mathrm{z}}_0}$

B. $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{x}}_0}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{y}}_0}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_0}{{\mathrm{z}}_0}$

C. $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_0}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_0}{\mathrm{c}}$

D. $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0+\mathrm{at}\\ \mathrm{y}={\mathrm{y}}_0+\mathrm{bt}\\ \mathrm{z}={\mathrm{z}}_0+\mathrm{ct}\end{array}\right.\left(\mathrm{t}\in \mathrm{R}\right)$

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $\mathrm{M}\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0;{\mathrm{z}}_0\right)$ và có VTCP $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\right)$ là:

A. $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0+\mathrm{at}\\ \mathrm{y}={\mathrm{y}}_0+\mathrm{bt}\\ \mathrm{z}={\mathrm{z}}_0+\mathrm{ct}\end{array}\right.\left(\mathrm{t}\in \mathrm{Z}\right)$

B. $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0+\mathrm{at}\\ \mathrm{y}={\mathrm{y}}_0+\mathrm{bt}\\ \mathrm{z}={\mathrm{z}}_0+\mathrm{ct}\end{array}\right.\left(\mathrm{t}\in \mathrm{R}\right)$

C. $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{a}+{\mathrm{x}}_0\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{b}+{\mathrm{y}}_0\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=\mathrm{c}+{\mathrm{z}}_0\mathrm{t}\end{array}\right.\left(\mathrm{t}\in \mathrm{R}\right)$

D. $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{a}+{\mathrm{x}}_0\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{b}+{\mathrm{y}}_0\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=\mathrm{c}+{\mathrm{z}}_0\mathrm{t}\end{array}\right.\left(\mathrm{t}\in \mathrm{Z}\right)$

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4-2\mathrm{m}{\text{x}}^2+\mathrm{m} \left(\mathrm{C}\right)$. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 

A. m = 1

B. m = 0

C. m = -2

D. m = 2

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4-2\left({\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}+1\right){\mathrm{x}}^2$$+\mathrm{m}-1\left(\mathrm{C}\right)$. Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số (C) có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu nhỏ nhất

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{mx}}^2+2\mathrm{m}$$+{\mathrm{m}}^4$  có ba điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 4

A. $\mathrm{m}=\pm \sqrt[5]{16}$

B. $\mathrm{m}=-\sqrt[5]{16}$

C. $\mathrm{m}=\sqrt[3]{16}$

D. $\mathrm{m}=\sqrt[5]{16}$

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{mx}}^2+1$ có ba điểm cực trị A, B, C sao cho $\frac{1}{{\mathrm{AB}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{AC}}^2}=1$, với $\mathrm{A}\in \mathrm{Oy}$.

A. $\mathrm{m}=-\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

B. $\mathrm{m}=-1$

C. $\mathrm{m}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

D. $\mathrm{m}=1$

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^2+2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $\mathrm{x}=-\sqrt{2}$ và $\mathrm{x}=\sqrt{2}$.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm y = -2.

D. Hàm số đạt cực đại tại hai điểm $\left(-\sqrt{2};-2\right)$ và $\left(\sqrt{2};-2\right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu:${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-4\right)}^2=20$

A. $I\left(-1;2;-4\right) và R=5\sqrt{2}$

B. $I\left(-1;2;-4\right)$ và $R=2\sqrt{5}$

C. $I\left(1;-2;4\right)$ và  $R=20$

D. $I\left(1;-2;4\right)$ và $R=2\sqrt{5}$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ . Tính bán kính R của mặt cầu (S)

A. R = 3

B. R=9

C. $R=\sqrt{3}$

D. $R=3\sqrt{3}$

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}\left(-2;-3;3\right),\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(-3;2;5\right)$. Tìm tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}$

A. $\left(16;-4;29\right)$

B. $\left(-16;-4;-29\right)$

C. $\left(-16;-4;29\right)$

D. $\left(-16;4;29\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vec tơ $\overrightarrow{u}=\left(x;2;1\right)$ và vec tơ $\overrightarrow{v}=\left(1;-1;2x\right)$. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$

A. -2-x

B. 3x+2

C. 3x-2

D. x+2 

Cho hai điểm M(-1,-2,-2), N( -3,4,1) . Tọa độ vec tơ $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$  là:

A. $\left(-2;6;3\right)$

B. $\left(2;-6;-3\right)$

C. $\left(-4;2;-1\right)$

D. $\left(2;2;-3\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-13}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{4}$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-67=0$. Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại $T_1,T_2$. Tìm tọa độ trung điểm H của $T_1,T_2$

A. $H\left(8;1;5\right)$

B. $H\left(2;10;-2\right)$

C. $H\left(9;6;4\right)$

D. $H\left(7;-4;6\right)$ 

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng $MN\left(M\in A\text{'}C,N\in BC\text{'}\right)$ là đường vuông góc chung của A’C và BC’. Tỉ số $\frac{NB}{NC\text{'}}$ bằng:

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. 1

D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S_1\right)$ có tâm $I\left(2;1;1\right)$ có bán kính bằng 4 và mặt cầu $\left(S_2\right)$ có tâm $J\left(2;1;5\right)$ có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M + m bằng?

A. $8\sqrt{3}$

B. 9

C. 8

D. $\sqrt{15}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z+1=0$,$\left(Q\right):x-2y+2z-8=0$, $\left(R\right):x-2y+2z+4=0$. Một đường thẳng $∆$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $\left(P\right),\left(Q\right),\left(R\right)$ lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $AB+\frac{96}{A{C}^2}$ là:

A. $\frac{41}{8}$

B. 99

C. 18

D. 24

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;-1;1\right),M\left(5;3;1\right),N\left(4;1;2\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):y+z=27$. Biết rằng tồn tại điểm B trên tia AM, điểm C trên (P) và điểm D trên tia AN sao cho tứ giác ABCD là hình thoi. Tọa độ điểm C là:

A. $\left(-15;21;6\right)$

B. $\left(21;21;6\right)$

C. $\left(-15;7;20\right)$

D. $\left(21;19;8\right)$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;0;0\right);B\left(0;4;0\right),C\left(0;0;6\right)$. Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?

A. $\frac{7}{2}$

B. $3\sqrt{2}$ 

C. $2\sqrt{3}$

D. $\frac{5}{2}$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x+10y-2z-6=0$. Cho m là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng $y=m$ và $x+z-3=0$ tiếp xúc với mặt cầu (S). Tính tất cả các giá trị mà m có thể nhận được bằng:

A. -11

B. -10

C. -5

D. -8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$ và $d_2:\frac{x}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}$. Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng $d_1,d_2$ là:

A. $2y-2z+1=0$

B. $2y-2z-1=0$

C. $2x-2z+1=0$

D. $2x-2z-1=0$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;0;3\right),B\left(11;-5;-12\right)$. Điểm $M\left(a;b;c\right)$ thuộc mặt phẳng (Oxyz) sao cho $3M{A}^2+2M{B}^2$ nhỏ nhất. Tính $P=a+b+c$

A. P = 5

B. P = 3

C. P = 7

D. P = -5

Trong không gian Oxyz, cho A(-4;7;5) và hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=3t\\ z=-2+t\end{array}\right.,d_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{4}=z-1$. Đường thẳng d đi qua A đồng thời cắt $d_1,d_2$ có phương trình là:

A. $\left\{\begin{array}{c}x=2-3t\\ y=-3+5t\\ z=-3+4t\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}x=2-3t\\ y=2+5t\\ z=-1+4t\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}x=4-4t\\ y=7+5t\\ z=5+2t\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}x=-4-4t\\ y=7+5t\\ z=5+2t\end{array}\right.$ 

Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC = 1, các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA+ OB = OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

B. $\sqrt{6}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0$. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là:

A. $\left(Q\right):2y+z=0$

B. $\left(Q\right):2x-z=0$

C. $\left(Q\right):y-z=0$

D. $\left(Q\right):2y-z=0$ 

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A\left(0;1;1\right),B\left(3;0;-1\right),C\left(0;21;-19\right)$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vec tơ $\overrightarrow{OM}$ là:

A. $\sqrt{110}$

B. $3\sqrt{10}$

C. $\frac{3\sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{\sqrt{110}}{5}$ 

Trong không gian Oxyz, cho M(-1;3;4), mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Thể tích khối tứ diện OABC bằng:

A. $\frac{8788}{3}$

B. $\frac{4394}{3}$

C. $\frac{2197}{9}$

D. $\frac{4394}{9}$ 

Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(1;2;-3), M(-2;-2;1) và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$. $∆$ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng lớn nhất, khi đó $∆$ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

A. $\left(-1;-2;3\right)$

B. $\left(2;-7;-1\right)$

C. $\left(-1;2;3\right)$

D. $\left(-1;-1;-3\right)$ 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{2}$ và hai điểm $A\left(3;2;1\right),B\left(2;0;4\right)$. Gọi $∆$ là đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến $∆$ là nhỏ nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left(2;b;c\right)$ là một vec to chỉ phương của $∆$. Khi đó, $\left|\overrightarrow{u}\right|$ bằng:

A. $\sqrt{17}$

B. $\sqrt{5}$

C. $\sqrt{6}$ 

D. 3

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}$ và $d_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}$. Đường vuông góc chung của $d_1$ và $d_2$ lần lượt cắt $d_1, d_2$ tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng:

A. $\frac{\sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $\sqrt{6}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{9}$. Biết đường thẳng $∆$ qua A, cắt d và khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ nhỏ nhất, $∆$ có một vec tơ chỉ phương là (1;a;b). Tổng a + b là

A. $\frac{86}{5}$

B. $-\frac{86}{5}$

C. 17 

D. -17

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(3;0;0\right),B\left(1;2;1\right)$ và $C\left(2;-1;2\right)$. Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vec tơ pháp tuyến là $\left(10;a;b\right)$. Tổng a + b là:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left(1;0;0\right),B\left(3;2;4\right);C\left(0;5;4\right)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất

A. $M\left(1;3;0\right)$

B. $M\left(1;-3;0\right)$ 

C. $M\left(3;1;0\right)$

D. $M\left(2;6;0\right)$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+z-1=0$, $\left(Q\right):x-2y+z+8=0$ và $\left(R\right):x-2y+z-4=0$. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P); (Q); (R) lần lượt tại A, B, C. Đặt $T=\frac{A{B}^2}{4}+\frac{144}{AC}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của T.

A. min T = 108

B. $\min T=54\sqrt[3]{2}$

C. min T = 96

D. $\min T=72\sqrt[3]{2}$ 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;0;1), B(3;2;1). Gọi C(5;3;7) thỏa mãn MA = MB và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + b + c

A. 4

B. 0

C. 2

D. 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua điểm A(1;-1;4) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P=a-b+c

A. P = 6

B. P = 0

C. P = 3

D. P = 9

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-2y+4z-20=0$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z-m=0$. Tìm m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính lớn nhất.

A. m = -4

B. m = 4

C. m = 7

D. m = 0