Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2\\ \mathrm{z}=-\mathrm{t}\end{array}\right.$. Khoảng cách từ A(0;-1;3) đến đường thẳng $∆$ bằng:

A. $\sqrt{3}$

B. $\sqrt{14}$

C. $\sqrt{6}$

D. $\sqrt{8}$

Khoảng cách từ điểm M(2;0;1) đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}}{2}=\frac{\mathrm{z}-2}{1}$ là:

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2\sqrt{3}$

D. $\frac{5}{\sqrt{17}}$

Cho hình vẽ dưới đây, công thức nào không dùng để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’?

A. $\mathrm{d}\left(\mathrm{A};\mathrm{d}\text{'}\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{\mathrm{AM}\text{'}},\overrightarrow{\mathrm{u}\text{'}}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{u}\text{'}}\right|}$

B. $\mathrm{d}\left(\mathrm{A};\mathrm{d}\text{'}\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{\mathrm{AM}\text{'}},\overrightarrow{\mathrm{u}\text{'}}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{M}\text{'}\mathrm{N}\text{'}}\right|}$

C. $\mathrm{d}\left(\mathrm{A};\mathrm{d}\text{'}\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{\mathrm{AM}\text{'}},\overrightarrow{\mathrm{u}\text{'}}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{NN}\text{'}}\right|}$

D. $\mathrm{d}\left(\mathrm{A};\mathrm{d}\text{'}\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{\mathrm{NN}\text{'}},\overrightarrow{\mathrm{u}\text{'}}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{u}\text{'}}\right|}$

Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-4-3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3+2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ${\mathrm{d}}_2:\frac{\mathrm{x}-5}{3}=\frac{\mathrm{y}+1}{2}=\frac{\mathrm{z}-2}{-3}$ là:

A. Cắt nhau

B. Trùng nhau

C. Chéo nhau

D. Song song

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}}{1}=\frac{\mathrm{y}}{2}=\frac{\mathrm{z}-2}{-3}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-3-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=0\end{array}\right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ song song

B. ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ chéo nhau

C. ${\mathrm{d}}_1$ cắt ${\mathrm{d}}_2$ và vuông góc với nhau

D. ${\mathrm{d}}_1$ vuông góc ${\mathrm{d}}_2$ và không cắt nhau

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}-3}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{1}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2\\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array}\right.$. Vị trí tương đối của ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ là:

A. Song song

B. Trùng nhau

C. Cắt nhau

D. Chéo nhau

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ${\mathrm{d}}_2:\frac{\mathrm{x}-1}{-2}=\frac{\mathrm{y}+1}{1}=\frac{\mathrm{z}-2}{-1}$. Vị trí tương đối của ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$:

A. Song song

B. Trùng nhau

C. Cắt nhau

D. Chéo nhau

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2+\left({\mathrm{m}}^2-2\mathrm{m}\right)\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=5-\left(\mathrm{m}-4\right)\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=7-2\sqrt{2}\end{array}\right.$ và điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ A đến đường thẳng $∆$ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S là:

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{5}{3}$

C. $\frac{7}{3}$

D. $\frac{3}{5}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;-3). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì độ dài đoạn OH là:

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{6}{7}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{1}{3}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;-4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:

A. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=6\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3\mathrm{t}\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=6\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3\mathrm{t}\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=6\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3\mathrm{t}\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=6\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-3\mathrm{t}\end{array}\right.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1-4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=6+6\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ${\mathrm{d}}_2:\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}-1}{1}=\frac{\mathrm{z}+2}{-5}$. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng ${\mathrm{d}}_3$ qua M(1;-1;2) và vuông góc với cả ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$

A. $\frac{\mathrm{x}+4}{5}=\frac{\mathrm{y}-1}{2}=\frac{\mathrm{z}+3}{7}$

B. $\frac{\mathrm{x}-1}{14}=\frac{\mathrm{y}+1}{17}=\frac{\mathrm{z}-2}{9}$

C. $\frac{\mathrm{x}-1}{14}=\frac{\mathrm{y}+1}{9}=\frac{\mathrm{z}-2}{3}$

D. $\frac{\mathrm{x}-1}{7}=\frac{\mathrm{y}+1}{-14}=\frac{\mathrm{z}-2}{9}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-3\mathrm{t}\end{array}\right.$. Phương trình của d là:

A. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-\mathrm{t}\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=-3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-\mathrm{t}\end{array}\right.$

C. $\frac{\mathrm{x}}{1}=\frac{\mathrm{y}}{3}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$

D. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{y}=-3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=\mathrm{t}\end{array}\right.$

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: ${\mathrm{d}}_1:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}}{1}=\frac{\mathrm{z}+1}{-1}$ và ${\mathrm{d}}_2:\frac{\mathrm{x}-2}{3}=\frac{\mathrm{y}-1}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{2}$ là:

A. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{4}=\frac{\mathrm{y}-2}{-7}=\frac{\mathrm{z}-3}{-1}$

B. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{4}=\frac{\mathrm{y}-2}{7}=\frac{\mathrm{z}-3}{1}$

C. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-4}=\frac{\mathrm{y}-2}{-7}=\frac{\mathrm{z}-3}{1}$

D. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{4}=\frac{\mathrm{y}-2}{-7}=\frac{\mathrm{z}-3}{1}$

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm $\mathrm{A}\left(1;2;-3\right)$ và song song với trục Oz là:

A. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2\\ \mathrm{z}=-3\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=2+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=2\\ \mathrm{z}=3+\mathrm{t}\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3\end{array}\right.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{at}\\ \mathrm{y}=-2+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $\mathrm{d}\text{'}:\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}-3}{-1}=\frac{\mathrm{z}+2}{2}$. Với giá trị nào sau đây của a thì d và d’ song song với nhau?

A. a = 0

B. a = 1

C. a = -2

D. Không tồn tại

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;3) và đường thẳng $\mathrm{d}\text{'}:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}}{1}$. Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song d’. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng d?

A. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3+\mathrm{t}\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-1+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=5-3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=4-\mathrm{t}\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-4+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array}\right.$

Cho tam giác ABC có A(0;0;1), B(0;-1;0) và C(2;1;-2). Gọi G là trọng tâm tam giác. Phương trình đường thẳng AG là:

A. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-2\mathrm{t}\end{array}\right.\left(\mathrm{t}\in \mathrm{R}\right)$

B. $\frac{\mathrm{x}}{1}=\frac{\mathrm{y}}{1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

C. $\frac{\mathrm{x}-\frac{2}{3}}{1}=\frac{\mathrm{y}}{1}=\frac{\mathrm{z}+\frac{1}{3}}{-2}$

D. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=0\\ \mathrm{z}=1-2\mathrm{t}\end{array}\right.\left(\mathrm{t}\in \mathrm{R}\right)$

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(0;1;1), B(-2;3;1) và C(4;-3;1). Phương trình nào không phải là phương trình tham số của đường chéo BD.

A. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-2+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2-2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-2+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 1), B(-1; -2; 0), và C(2; 1; -1). Đường thẳng $∆$ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

A. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{1}{3}-5\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{3}-4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{1}{3}+5\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{3}-4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{1}{3}+5\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{3}+4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{1}{3}-5\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{3}-4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-3\mathrm{t}\end{array}\right.$

Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với A(1;1;2) và B(3;-3;0). Phương trình đường trung tuyến OI của tam giác OAB là:

A. $\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{1}$

B. $\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{1}=\frac{\mathrm{z}}{1}$

C. $\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$

D. $\frac{\mathrm{x}}{-2}=\frac{\mathrm{y}}{1}=\frac{\mathrm{z}}{1}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 3) và B(2; 4; -1)

A. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{2}=\frac{\mathrm{z}+3}{4}$

B. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-2}{1}=\frac{\mathrm{y}+4}{2}=\frac{\mathrm{z}+1}{-4}$

C. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}-3}{-4}$

D. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+2}{1}=\frac{\mathrm{y}+4}{2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $\mathrm{A}\left(-1;2;-4\right)$ và $\mathrm{B}\left(1;0;2\right)$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

A. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}+4}{3}$

B. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{1}=\frac{\mathrm{z}-4}{3}$

C. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{-1}=\frac{\mathrm{z}+4}{3}$

D. $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{-1}=\frac{\mathrm{z}-4}{3}$

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1)?

A. $\frac{\mathrm{x}+1}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{-3}=\frac{\mathrm{z}-3}{4}$

B. $\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-2}{-1}=\frac{\mathrm{z}+3}{1}$

C. $\frac{\mathrm{x}-3}{1}=\frac{\mathrm{y}+1}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-3}$

D. $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}-2}{-3}=\frac{\mathrm{z}+3}{4}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}-4}{1}=\frac{\mathrm{y}+3}{2}=\frac{\mathrm{z}-2}{-1}$ là:

A. $\mathrm{\Delta }:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1-4\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1-2\mathrm{t}\end{array}\right.$

B. $\mathrm{\Delta }:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-4+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-2-\mathrm{t}\end{array}\right.$

C. $\mathrm{\Delta }:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=4+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2-\mathrm{t}\end{array}\right.$

D. $\mathrm{\Delta }:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+4\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1-2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array}\right.$

A. $\frac{\mathrm{x}+1}{-2}=\frac{\mathrm{y}}{3}=\frac{\mathrm{z}-2}{1}$

B. $\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}}{3}=\frac{\mathrm{z}+2}{2}$

C. $\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}}{3}=\frac{\mathrm{z}-2}{2}$

D. $\frac{\mathrm{x}-1}{-2}=\frac{\mathrm{y}}{3}=\frac{\mathrm{z}-2}{1}$

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}-2}{-1}=\frac{\mathrm{z}-3}{2}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $\mathrm{Q}\left(2;-1;2\right)$

B. $\mathrm{M}\left(-1;-2;-3\right)$

C. $\mathrm{P}\left(1;2;3\right)$

D. $\mathrm{N}\left(-2;1;-2\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array}\right.$. Đường thẳng d đi qua các điểm nào sau đây?

A. (1; -1; 1) và (0; 1; 2)

B. (1; 2; 0) và (0; -1; 1)

C. (0; 1; 2) và (0; -1; 1)

D. (0; 1; 2) và (1; 0; 3)

Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng $\frac{\mathrm{x}+1}{2}=\frac{\mathrm{y}-2}{-2}=\frac{\mathrm{z}}{1}$

A. $\left(0;1;2\right)$

B. $\left(1;0;1\right)$

C. $\left(2;-2;1\right)$

D. $\left(3;-4;1\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-2}{3}=\frac{\mathrm{y}+1}{-1}=\frac{\mathrm{z}+3}{2}$. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?

A. $\mathrm{M}\left(2;-1;-3\right)$

B. $\mathrm{N}\left(-2;1;3\right)$

C. $\mathrm{P}\left(5;-2;1\right)$

D. $\mathrm{Q}\left(-1;0;5\right)$

Trong không gian Oxyz, gọi $∆$ là đường thẳng đi qua M(0; 0; 2) và song song với mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0 sao cho khoảng cách từ A(5; 0; 0) đến đường thẳng $∆$ nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $∆$ là:

A. $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_3}=\left(4;-1;-3\right)$

B. $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2}=\left(2;-1;-3\right)$

C. $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_4}=\left(2;1;-3\right)$

D. $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1}=\left(4;1;3\right)$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; -2; 4); B(-3; 3; -1) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 8 = 0. Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của $2{\mathrm{MA}}^2+3{\mathrm{MB}}^2$ bằng:

A. 135

B. 105

C. 108

D. 145

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\mathrm{P}\right):\mathrm{x}+2\mathrm{y}-3\mathrm{z}+4=0$ và đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+2}{1}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$. Đường thẳng $∆$ nằm trong (P)) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình:

A. $\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}-3}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-1}$

B. $\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}+1}{-2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-1}$

C. $\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-1}$

D. $\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{-1}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-2}{3}=\frac{\mathrm{y}}{2}=\mathrm{z}-1$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\mathrm{Q}\right):2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}-3=0$. Biết (P) có phương trình dạng $\mathrm{ax}-\mathrm{y}+\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0$. Hãy tính tổng a + c + d

A. a + c + d = -3

B. a + c + d = -4

C. a + c + d = 4

D. a + c + d = 3

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-3}{1}=\frac{\mathrm{y}-4}{1}=\frac{\mathrm{z}-5}{-2}$ và các điểm $\mathrm{A}\left(3+\mathrm{m};4+\mathrm{m};5-2\mathrm{m}\right),$$\mathrm{B}\left(4-\mathrm{n};5-\mathrm{n};3+2\mathrm{n}\right)$ với m, n là các số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\mathrm{A}\notin \mathrm{d},\mathrm{B}\in \mathrm{d}$

B. $\mathrm{A}\in \mathrm{d},\mathrm{B}\in \mathrm{d}$

C. $\mathrm{A}\notin \mathrm{d},\mathrm{B}\notin \mathrm{d}$

D. $\mathrm{A}\in \mathrm{d},\mathrm{B}\notin \mathrm{d}$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{2}=\frac{\mathrm{y}-1}{1}=\frac{\mathrm{z}}{-2}$ và điểm $\mathrm{A}\left(3;1;-1\right)$. Gọi $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ là mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d. Điểm nào sau đây thuộc $\left(\mathrm{\alpha }\right)$?

A. $\mathrm{Q}\left(0;2;1\right)$

B. $\mathrm{P}\left(1;0;-1\right)$

C. $\mathrm{M}\left(1;0;1\right)$

D. $\mathrm{N}\left(0;3;0\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\frac{\mathrm{x}-2}{1}=\frac{\mathrm{y}+1}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-3}$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1+2\mathrm{t}\end{array}\right.$. Phương trình mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ song song với hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ và cách điểm $\mathrm{I}\left(1;-1;3\right)$ một khoảng bằng $\frac{\sqrt{35}}{5}$ là:

A. x - 5y - 3z + 10 = 0 và x - 5y - 3z - 4 = 0

B. x - 5y - 3z - 4 = 0

C. x - 5y - 3z + 3 + $\sqrt{511}$ = 0 và x - 5y - 3z + 3 - $\sqrt{511}$ = 0

D. x - 5y - 3z + 10 = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y - z - 7 = 0 và điểm A(3; 5; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P). Điểm A’ có tọa độ là:

A. $\mathrm{A}\text{'}\left(1;-1;2\right)$

B. $\mathrm{A}\text{'}\left(-1;-1;2\right)$

C. $\mathrm{A}\text{'}\left(1;1;2\right)$

D. $\mathrm{A}\text{'}\left(-1;-1;-2\right)$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $\mathrm{M}\left(-2;-2;1\right),\mathrm{A}\left(1;2;-3\right)$ và đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{2}=\frac{\mathrm{y}-5}{2}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$. Gọi $∆$ là đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé đó là:

A. $\sqrt{29}$

B. 6

C. 5

D. $\frac{\sqrt{34}}{9}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-3}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{1}=\frac{\mathrm{z}-1}{2}$ và điểm $\mathrm{M}\left(1;2;-3\right)$. Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d là:

A. $\mathrm{M}\text{'}\left(1;2;-1\right)$

B. $\mathrm{M}\text{'}\left(1;-2;1\right)$

C. $\mathrm{M}\text{'}\left(1;-2;-1\right)$

D. $\mathrm{M}\text{'}\left(1;2;1\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; 0; 2), B(1; 0; 0). Điều kiện cần và đủ của m để khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 là:

A. $\left[\begin{array}{c}\mathrm{m}=4\\ \mathrm{m}=-2\end{array}\right.$

B. $\left[\begin{array}{c}\mathrm{m}=-4\\ \mathrm{m}=2\end{array}\right.$

C. $\left[\begin{array}{c}\mathrm{m}=4\\ \mathrm{m}=2\end{array}\right.$

D. $\left[\begin{array}{c}\mathrm{m}=-4\\ \mathrm{m}=-2\end{array}\right.$