Xét hàm số $y=x^{\alpha }$ trên $\left(0;+\infty \right)$ có đồ thị dưới đây, chọn kết luận đúng:

A. $\alpha =0$

B. $\alpha =1$

C. $\alpha >1$

D. $0<\alpha <1$

Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$ là đường thẳng khi:

A. $\alpha >0$

B. $\alpha =1$

C. $\alpha =-1$

D. $\alpha =0 hoặc \alpha =1$

Cho hàm số $y=x^{\alpha }$. Nếu $\alpha =1$ thì đồ thị hàm số là:

A. Đường thẳng

B. Đường tròn

C. Đường elip

D. Đường cong

Cho x > 0 và $n\in N*,n\ge 2$. Chọn công thức đúng

A. $\left(\sqrt[n]{x}\right)\text{'}=\frac{1}{n}{x}^{-\frac{n-1}{n}}$

B. $\left(\sqrt[n]{x}\right)\text{'}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{n-1}{n}}$

C. $\left(\sqrt[n]{x}\right)\text{'}=n{x}^{-\frac{n-1}{n}}$

D. $\left(\sqrt[n]{x}\right)\text{'}=\frac{1}{n}{x}^{-\frac{n+1}{n}}$

Đẳng thức $\left(\sqrt[n]{x}\right)\text{'}=\left(x^{\frac{1}{n}}\right)\text{'}$ $=\frac{1}{n}.x^{-\frac{n-1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ xảy ra khi:

A. x<0

B. x>0

C. $x\ge 0$

D. $x\in R$

Công thức tính đạo hàm của hàm số $y=x^{\alpha }$ là

A. $y\text{'}=\alpha .x^{\alpha -1}$

B. $y\text{'}=\left(\alpha -1\right).x^{\alpha -1}$

C. $y\text{'}=\alpha .x^{\alpha }$

D. $y\text{'}=\alpha .x^{\alpha }-1$

Chọn khẳng định đúng:

A. Với $n\in N*$ thì $\sqrt[x]{n}=x^{\frac{1}{n}}$ nếu x > 0

B. Với $n\in N*$ thì $\sqrt[x]{n}=x^{\frac{1}{n}}$ nếu $x\ge 0$

C. Với $n\in N*$ thì $\sqrt[x]{n}=x^{\frac{1}{n}}$ nếu x<0

D. Với $n\in N*$ thì $\sqrt[x]{n}=x^{\frac{1}{n}}$ nếu $x\ne 0$

Hàm số nào có tập xác định là D = R.

A. $y=x^5$

B. $y=x^{-1}$

C. $y=x^{\sqrt{2}}$

D. $y={\left(x^{\sqrt{2}}\right)}^2$

Hàm số nào dưới đây có tập xác định không phải là R?

A. $y={\left(x^2+1\right)}^{\frac{1}{2}}$

B. $y=\sqrt{x^2}$

C. $y=\frac{x}{x-1}$

D. $y=\sqrt[3]{x}$

Chọn kết luận đúng

A. Hàm số $y=x^{\alpha }$ có TXĐ D = R với mọi $a\in R$

B. Hàm số $y=x^{\alpha }$ có TXĐ D = R với mọi $a\in Z$

C. Hàm số $y=x^{\alpha }$ có TXĐ $D=R\backslash \left\{0\right\}$ với mọi $a\in Z$

D. Hàm số $y=a^{\alpha }$ có TXĐ $D=\left\{0;+\infty \right\}$ với mọi $\alpha$ không nguyên

Hàm số nào dưới đây không là hàm số lũy thừa?

A. $y=\frac{1}{x^4}$

B. $y=x^{-\sqrt{2}}$

C. $y=e^x$

D. $y=x^{\mathrm{\pi }}$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+2}$. Tính tổng $S=f\left(\frac{1}{2019}\right)+f\left(\frac{2}{2019}\right)$ $+..+f\left(\frac{2018}{2019}\right)+f\left(1\right)$

A. $S=\frac{3032}{3}$

B. $S=\frac{3023}{3}$

C. $S=\frac{3026}{3}$

D. $S=\frac{3029}{3}$

Cho $f\left(x\right)=\frac{{2018}^x}{{2018}^x+\sqrt{2018}}$. Giá trị của $S=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+...+\left(\frac{2016}{2017}\right)$ là:

A. 1008

B. $\sqrt{2016}$

C. 2017

D. 1006

Kết luận nào đúng về số thức a nếu $a^{\sqrt{3}}>a^{\sqrt{7}}$

A. a<1

B. 0<a<1

C. a>1

D. 1<a<2

Cho biểu thức $P=\frac{a^{\sqrt{7}+1}.a^{2-\sqrt{7}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$ với a > 0. Rút gọn biểu thức P được kết quả

A. $P=a^5$

B. $P=a^3$

C. P=a

D. $P=a^4$

Giá trị của biểu thức $3^{\sqrt{2}-1}.9^{\sqrt{2}}.{27}^{1-\sqrt{2}}$ bằng

A. 3

B. 27

C. 9

D. 1

Kết quả $a^{\mathrm{\pi }}$ là đáp số của biểu thức được rút gọn nào dưới đây?

A. $a^{\sqrt{2}}.a^{\mathrm{\pi }}:\sqrt[3]{{\left(a^{\sqrt{2}}\right)}^3}$

B. ${\left(a^{\mathrm{\pi }\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$

C. $a^{\mathrm{\pi }\sqrt{3}}:a^{\sqrt{3}}$

D. ${\left(\sqrt[3]{a^{\mathrm{\pi }}}\right)}^{3\mathrm{\pi }}$

Cho a là số thực dương. Rút gọn biểu thức $P=a^{-2\sqrt{2}}{\left(\frac{1}{a^{-\sqrt{2}-1}}\right)}^{\sqrt{2}+1}$

A. $P=a^{\sqrt{2}}$

B. $P=a^{2\sqrt{2}}$

C. $P=a^3$

D. $P=a^2$

Đơn giản biểu thức $A=a^{\sqrt{2}}{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}$ ta được

A. A=a

B. A=-a

C. $A=\frac{1}{a}$

D. $A=a^{2\sqrt{2}}-1$

Với a, b là các số thực dương $\alpha ,\beta$ là các số thực, mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$

B. ${\left(a.b\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha }$

C. ${\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha .\beta }$

D. $\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta }$

Có bao nhiêu bộ ba số thực (x, y, z) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau $3^{\sqrt[3]{x^2}}.9^{\sqrt[3]{y^2}}.{27}^{\sqrt[3]{z^2}}=3^6$ và $x.y^2.z^3$=1

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Với giá trị nào của a thì đẳng thức $\sqrt{a\sqrt[3]{a\sqrt[4]{a}}}=\sqrt[24]{2^5}.\frac{1}{\sqrt{2^{-1}}}$ đúng ?

A. a=1

B.  a=2

C. a=0

D. a=3

Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tuỳ ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. ${\left(x^m\right)}^n=x^{m.n}$

B. $x^m.x^n={\left(xy\right)}^{m+n}$

C. $x^m.x^n=x^{m+n}$

D. ${\left(xy\right)}^n=x^n.y^n$

Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}>1$

B. $a^{-\sqrt{3}}>\frac{1}{a^{\sqrt{5}}}$

C. $a^{\frac{1}{2}}>\sqrt{a}$

D. $\frac{1}{a^{2015}}<\frac{1}{a^{2017}}$

Cho a > 1 > b > 0, khẳng định nào đúng?

A. $a^2<b^2$

B. $a^{-2}<a^{-3}$

C. $a^{-\frac{3}{2}}<b^{-\frac{3}{2}}$

D. $b^{-2}>b^{-\frac{5}{2}}$

Tất cả các số thực a thoả mãn ${\left(2-\sqrt{a}\right)}^{\frac{9}{4}}>{\left(2-\sqrt{a}\right)}^2$ là

A. $0\le a<1$

B. 0<a<1

C. a<1

D. a>1

Cho số thực a thoả mãn ${\left(2-a\right)}^{\frac{3}{4}}>{\left(2-a\right)}^2$. Chọn khẳng định đúng

A. a<1

B. a=1

C. 1<a<2

D. $a\le 1$

Tìm tất cả các giá trị của a thoả mãn $\sqrt[15]{a^7}>\sqrt[5]{a^2}$

A. a=0

B. a<0

C. a>1

D. 0<a<1

Nếu ${\left(a-2\right)}^{-\frac{1}{4}}\le {\left(a-2\right)}^{-\frac{1}{3}}$ thì khẳng định đúng là

A. $a\ge 3$

B. a<3

C. $2<a\le 3$

D. a>2

Rút gọn biểu thức $\left(\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-y^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{x{y}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}y}+\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+y^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{x{y}^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}y}\right)$ $.\frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}.y^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}$ ta được kết quả là

A. x+y

B. x-y

C. 2

D. -2

Cho a > 0, b > 0, giá trị của biểu thức: $T=2{(a+b)}^{-1}$ $.{\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}{\left[a+\frac{1}{4}{\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}$ bằng

A. 1

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

Cho x > 0, y > 0.Viết biểu thức $x^{\frac{4}{5}}\sqrt[6]{x^5\sqrt{x}}$ về dạng $x^m$ và biểu thức $y^{\frac{4}{5}}:\sqrt[6]{y^5\sqrt{y}}$ về dạng $y^n$. Ta có m – n = ?

A. $\frac{8}{5}$

B. $-\frac{8}{5}$

C. $\frac{11}{6}$

D. $-\frac{11}{6}$

Rút gọn biểu thức: $C=\frac{{\left(a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\right)}^2}{\sqrt[3]{ab}}:\left(2+\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)$ ta được kết quả là:

A. $C=\frac{1}{2}$

B. C=1

C. C=a+b

D. $C=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Cho x > 0, y > 0 và $K={\left(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}\right)}^2{\left(1-2\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}\right)}^{-1}$.Xác định mệnh đề đúng

A. K=2x

B. K=x+1

C. K=x-1

D. K=x

Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức $A=\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{b}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$

A. $A=\sqrt[6]{ab}$

B. $A=\sqrt[3]{ab}$

C. $A=\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$

D. $A=\frac{1}{\sqrt[6]{ab}}$

Rút gọn biểu thức $P=\left(\sqrt{ab}-\frac{ab}{a+\sqrt{ab}}\right)$ $:\frac{\sqrt[4]{ab}-\sqrt{b}}{a-b} \left(a>0,b>0,a\ne b\right)$ ta được kết quả là

A. $P=a\sqrt[4]{b}\left(\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}\right)$

B. $P=\sqrt[4]{b}\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)$

C. $P=\sqrt[4]{ab}\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)$

D. $P=a\sqrt[4]{b}\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right)$

Biểu thức thu gọn của biểu thức $P=\left(\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+2}{a+2a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}-\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-2}{a-1}\right)$ $.\frac{\left(a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1\right)}{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$ có dạng $P=\frac{m}{a+n}$. Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:

A. m+3n=1

B. m+n=-2

C. m-n=0

D. 2m-n=5

Rút gọn biểu thức: $P=\sqrt{a\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{\frac{1}{a}}}}:\sqrt[24]{a^7},\left(a>0\right)$ ta được biểu thức dạng $a^{\frac{m}{n}}$ trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản $m,n\in N*$. Tính giá trị $m^2+n^2$.

A. 10

B. 25

C. 5

D. 13

Đơn giản biểu thức $P=\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)$ $.\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right) \left(a,b>0)\right)$ ta được

A. $P=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$

B. P=a+b

C. $P=\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$

D. P=a-b

Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt[3]{a^7}.a^{{\displaystyle \frac{11}{3}}}}{a^4.\sqrt[7]{a^{-5}}}$ với a > 0 ta thu được kết quả $A=a^{\frac{m}{n}}$ trong đó $m,n\in N*$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $m^2+n^2=409$

B. $m^2-n^2=312$

C. $m^2+n^2=543$

D. $m^2-n^2=-312$