Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Thể tích của CMNP theo a bằng

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O có cạnh bằng a, $\widehat{BAD}={60}^0$. Gọi H là trung điểm của OB và SH vuông góc với (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) bằng ${45}^{\circ }$. Thể tích của khối chóp S.AHCD là

A. $\frac{\sqrt{35}}{32}{a}^3$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tỉ số thể tích $\frac{V_{S.ABCD}}{V_{AOHK}}$bằng

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho $SA\text{'}=\frac{1}{3}SA$. Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích chóp S.A’B’C’D’ bằng

A. $\frac{V}{3}$.

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 20cm, cạnh SA=30cm và vuông góc với đáy. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Thể tích khối chóp S.AB’C’D’ gần nhất giá trị nào dưới đây?

A. $2120c{m}^3$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi $V_1,V_2$lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H, K lần lượt là trung điểm SC, SD. Tính độ dài đường cao h của khối chóp S.ABCD và tỉ số $k=\frac{V_1}{V_2}$.

A. $h=a;k=\frac{1}{4}$.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F. Biết $V_{S.AEF}=\frac{1}{4}{V}_{S.ABC}$. Thể tích V của khối chóp S.ABC là

A. $\frac{a^3}{4}$.

Cho hình chóp S.ABC có SA=2cm, SB=3cm, SC=4cm, $\widehat{ASB}={60}^0,\widehat{BSC}={90}^0$$,\widehat{ASC}={120}^0$. Thể tích của khối chóp S.ABC là

A. $2\sqrt{2}$.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là ${30}^{\circ }$. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp S.ABC thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là

A. $\frac{1}{6}$.

Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM=2MB, BN=4NC, SP=PC. Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S.BMN và A.CPN là

A. $\frac{4}{3}$.

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=x^6+4{\left(1-x^2\right)}^3$  trên đoạn $\left[-1;1\right]$ . Khi đó tỉ số $\frac{M}{m}$  bằng

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1-x^2}+\sqrt[3]{{\left(1-x^2\right)}^2}$  bằng

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$  là

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2{\cos }^{6}x-\frac{3}{4}\cos 2x$  theo thứ tự là

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\sqrt{x+1}+2\sqrt{3-x}+2}{2\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}+1}$  theo thứ tự là

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{3{\cos }^{4}x+4{\sin }^{2}x}{3{\sin }^{4}x+2{\cos }^{2}x}$  theo thứ tự là

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{2}\cos 2x+4\sin x$  trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$  là

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = $a\sqrt{3}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Thể tích khối chóp S.AMN là

A. $\frac{a^3}{2}$.

Hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Giá trị $\frac{V_{MNPABC}}{V_{S.ABC}}$ là

Giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y=-{\cos }^{3}x-{\sin }^{2}x+\cos x-3$  là

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y={\sin }^{4}x-4{\sin }^{2}x+5$  là

Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm của SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho NS=2NC, P là điểm trên cạnh SA sao cho PA=2PS. Kí hiệu $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện BMNP và SABC. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

A. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{9}$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}-\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}$  bằng

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = $a\sqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB và SC. Thể tích của khối chóp A.BCKH là V. Tỉ số $\frac{a^3}{V}$gần nào nhất giá trị nào trong các giá trị sau?

Cho hình chóp đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tỉ số $\frac{V_{S.ABMN}}{V_{S.ABCD}}$ có giá trị là

A. $\frac{1}{2}$.

Cho tứ diện ABCD có DA =1, DA$\perp$(ABC). $\Delta$ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DA, DB, DC lần lượt lấy ba điểm M, N, P mà $\frac{DM}{DA}=\frac{1}{2},\frac{DN}{DB}=\frac{1}{3},\frac{DP}{DC}=\frac{3}{4}$. Thể tích của tứ diện MNPD là

A. $V=\frac{\sqrt{3}}{12}$.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = a, BC = $a\sqrt{3}$, SA = a. Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Thể tích khối chóp S.AHK là

A. $V_{S.AHK}=\frac{a^3\sqrt{3}}{20}$.

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau AB = a; AC = 2a và AD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD, CD. Thể tích của tứ diện ADMN là

A. $V=a^3$.

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = $a\sqrt{2}$, SA vuông góc với đáy ABC, SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Thể tích của khối chóp S.AMN là

A. $\frac{2a^3}{27}$.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=4{\left(\frac{x}{x^2+1}\right)}^3+\frac{6x}{x^2+1}-1$  bằng

Cho hình vẽ bên với E, F lần lượt là trung điểm các cạnh bên SB và SC. Khối chóp S.AEF có thể tích là

A. $\frac{1}{24}abc$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+b}$  xác định và liên tục trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$  và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ . Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Cho hình chóp đều SABC có $\widehat{ASB}={30}^0,SA=1$. Lấy B',C' lần lượt thuộc cạnh SB,SC sao cho chu vi tam giác AB'C' nhỏ nhất. Tỉ số $\frac{V_{S.A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ABC}}$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có SA = a và $\widehat{SAB}=\frac{11\pi }{24}$. Gọi Q là trung điểm cạnh SA. Trên các cạnh SB,SC,SD  lần lượt lấy các điểm M,N,P không trùng với các đỉnh của hình chóp. Giá trị  nhỏ nhất của tổng $AM+MN+NP+PQ$ theo a là

Cho đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$  như hình vẽ

Hàm số $y=f\left(x\right)$   đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] tại x bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD một con kiến bò từ đỉnh A của đáy để đi tất cả các mặt xung quanh rồi trở về vị trí A. Biết cạnh bên bằng 6cm, cạnh đáy bằng 4cm. Quãng đường ngắn nhất mà con kiến đi là

A. $\mathrm{13,48}cm$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục trên đoạn R và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[-1;1\right]$  của hàm số là

Một con kiến đang ở vị trí M là trung điểm cạnh A'D' của một chiếc hộp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh 5cm. Con kiến muốn bò qua sáu mặt của chiếc hộp rồi quay trở lại M. Quãng đường bò đi ngắn nhất của con kiến là

A. $16\sqrt{2}cm$.