Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;3} \right)\). Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \) ?

A. \(\overrightarrow a = \left( {2;4;6} \right).\)

B. \(\overrightarrow b = \left( { - 3;6; - 9} \right).\)

C. \(\overrightarrow c = \left( {\frac{1}{2}; - 2;\frac{3}{2}} \right).\)

D. \(\overrightarrow d = \left( { - 1; - 2; - 3} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(N\left( {1;0;4} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) là

A. \(\left( {1; - 1;3} \right).\)

B. \(\left( {0;2;2} \right).\)

C. \(\left( {2; - 2;6} \right).\)

D. \(\left( {1;0;3} \right).\)

I. Nhận biết

Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;6;2} \right)\). Vectơ \(\frac{3}{2}\overrightarrow a \) có tọa độ là

A. \(\left( { - 6;9;6} \right).\)

B. \(\left( { - 3;9;3} \right).\)

C. \(\left( {6;9;6} \right).\)

D. \(\left( { - 3;6;3} \right).\)

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm \(M\) trong không gian \(Oxyz\) như hình bên. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Biết \(OM = 70,\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 64^\circ \), \(\left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 48^\circ \). Tìm tọa độ điểm \(M\).

A. \(M\left( {37,2;14,7;30,1} \right).\)

B. \(M\left( {14,7;37,2;30,1} \right).\)

C. \(M\left( {30,1;14,7;37,2} \right).\)

D. \(M\left( {14,7;30,1;37,2} \right).\)

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = OB = 2a\), \(OC = a\sqrt 2 \). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AB} \left( {m;n;p} \right)\). Khi \(a = 1\) hãy tính giá trị của biểu thức \(T = m + n + p.\)

A. \(2.\)

B. \( - 2.\)

C. \(0.\)

D. \(1.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có các cạnh bằng 1, \(SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi \(O\), \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\), \(BC\) và \(CD\). Thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

a) Tọa độ các điểm \(A,B\) là \(A\left( {0; - \frac{1}{2};0} \right),B\left( {1; - \frac{1}{2};0} \right).\)

b) Tọa độ các điểm \(C,D\) là \(C\left( {1;\frac{1}{2};0} \right),D\left( {0;\frac{1}{2};0} \right).\)

c) Tọa độ điểm \(S\) là điểm \(S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\)

d) Tọa độ các điểm \(M,N\) là \(M\left( {1;0;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right).\)

Khi đó, số mệnh đề đúng trong các mệnh đề là:

A. \(2.\)

B. \(3.\)

C. \(4.\)

D. \(1.\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có điểm \(A\) trùng với gốc tọa độ \(O\), điểm \(B\) nằm trên tia \(Ox\), điểm \(D\) nằm trên tia \(Oy\), điểm \(A'\) nằm trên tia \(Oz\). Biết \(AB = 2,AD = 4,AA' = 3\). Gọi tọa độ \(C'\) là \(\left( {a;b;c} \right)\) khi đó biểu thức \(a + b - c\) có giá trị là

A. \( - 4.\)

B. \(9.\)

C. \(3.\)

D. \(6.\)

III. Vận dụng

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {5; - 1;2} \right)\), \(C\left( {3;2; - 4} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).

A. \(M\left( {4; - \frac{3}{2}; - \frac{9}{2}} \right).\)

B. \(M\left( {4;\frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right).\)

C. \(M\left( {4; - \frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right).\)

D. \(M\left( { - 4; - \frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right).\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Tọa độ của \(H'\) đối xứng với \(H\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là

A. \(H\left( { - 1; - 2;3} \right).\)

B. \(H\left( {0;0;3} \right).\)

C. \(H\left( {1; - 2;0} \right).\)

D. \(H\left( {1;2;0} \right).\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;1} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(B\) ?

A. \(\left( {3;4; - 3} \right).\)

B. \(\left( { - 4;3;1} \right).\)

C. \(\left( {1;3;2} \right).\)

D. \(\left( {5;0;1} \right).\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right)\), \(B\left( {1;0;2} \right)\), \(C\left( {x;y;7} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \). Khi đó \(x + y\) bằng

A. \(x + y = 1.\)

B. \(x + y = 17.\)

C. \(x + y = - \frac{{11}}{5}.\)

D. \(x + y = \frac{{11}}{5}.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(M\left( {8;4;3} \right)\). Khi đó:

a) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\) là điểm \(\left( {0;4;3} \right)\).

b) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oz\) là điểm \(\left( {0;0;3} \right)\).

c) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oxz\) là điểm \(\left( {8;0;3} \right)\).

d) \(\overrightarrow {OM} = 8\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k .\)

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. \(2.\)

B. \(3.\)

C. \(4.\)

D. \(1.\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \left( { - 3;2;1} \right)\) và điểm \(A\left( {4;6; - 3} \right)\). Tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) là:

A. \(\left( { - 1; - 8;2} \right).\)

B. \(\left( {7;4; - 4} \right).\)

C. \(\left( {1;8; - 2} \right).\)

D. \(\left( { - 7; - 4;4} \right).\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết \(A\left( {2;4;0} \right)\), \(B\left( {4;0;0} \right)\), \(C\left( { - 1;4; - 7} \right)\) và \(D'\left( {6;8;10} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(B'\).

A. \(\left( {8;4;10} \right).\)

B. \(\left( {6;12;0} \right).\)

C. \(\left( {10;8;6} \right).\)

D. \(\left( {13;0;17} \right).\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 7\overrightarrow k \). Tìm tọa độ của điểm đối xứng \(M'\) của \(M\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

A. \(M'\left( { - 3; - 5;7} \right).\)

B. \(M'\left( {3;5; - 7} \right).\)

C. \(M'\left( { - 3;5;7} \right).\)

D. \(M'\left( {3; - 5; - 7} \right).\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(I\) có tọa độ các đỉnh \(B\left( {3;1;0} \right)\), \(D\left( {0;4; - 6} \right)\). Tọa độ điểm \(I\) là

A. \(\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}; - 3} \right).\)

B. \(\left( {3;5; - 6} \right).\)

C. \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - 3} \right).\)

D. \(\left( { - 3;5; - 6} \right).\)

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow i + a\overrightarrow j + 6\overrightarrow k \). Tìm giá trị của tham số a để \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow v \).

A. \(a = 2.\)

B. \(a = 4.\)

C. \(a = 3.\)

D. \(a = 5.\)

II. Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) và các đỉnh có tọa độ lần lượt là \(A\left( {3;1;2} \right),B\left( {1;0;1} \right),C\left( {2;3;0} \right)\). Tọa độ đỉnh \(D\) là

A. \(\left( {1;1;0} \right).\)

B. \(\left( {0;2; - 1} \right).\)

C. \(\left( {4;4;1} \right).\)

D. \(\left( {1;3; - 1} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(I\left( {1;2;3} \right)\). Điểm đối xứng với \(A\) qua trục \(Oz\) có tọa độ là

A. \(\left( {1;2; - 3} \right).\)

B. \(\left( { - 1; - 2;3} \right).\)

C. \(\left( {0;0;3} \right).\)

D. \(\left( { - 1;2;3} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có tọa độ là

A. \(\left( {0;2;3} \right).\)

B. \(\left( {2;0; - 1} \right).\)

C. \(\left( {0;2;0} \right).\)

D. \(\left( {0;3;0} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {2; - 1;0} \right)\) và \(B\left( {1;1; - 3} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là

A. \(\left( { - 1;2; - 3} \right).\)

B. \(\left( {1; - 2;3} \right).\)

C. \(\left( { - 1; - 2;3} \right).\)

D. \(\left( {1; - 2;3} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k \). Tọa độ \(\overrightarrow u \) là

A. \(\left( {2;1; - 1} \right).\)

B. \(\left( {2;1;1} \right).\)

C. \(\left( { - 2; - 1;1} \right).\)

D. \(\left( { - 2; - 1; - 1} \right).\)

I. Nhận biết

Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {3;4;1} \right)\) lên trục \(Ox\) có tọa độ là

A. \(\left( {0;4;1} \right).\)

B. \(\left( {3;0;0} \right).\)

C. \(\left( {3;4;0} \right).\)

D. \(\left( {0;0;1} \right).\)

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,F\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AB,CD\) sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB,CF = \frac{1}{3}CD\). Tìm giá trị \(k\) với \(k \in \mathbb{R}\) thỏa mãn đẳng thức:

\(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + k.\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}.\overrightarrow {AB} \).

A. \(k = \frac{2}{3}.\)

B. \(k = \frac{1}{3}.\)

C. \(k = \frac{3}{4}.\)

D. \(k = \frac{4}{3}.\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ?

A. \(120^\circ.\)

B. \(90^\circ.\)

C. \(60^\circ.\)

D. \(45^\circ.\)

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)\).

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}.\)

B. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \), \(\widehat {CAD} = 90^\circ \). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {IJ} \) ?

A. \(120^\circ.\)

B. \(90^\circ.\)

C. \(60^\circ.\)

D. \(30^\circ.\)

III. Vận dụng

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m = 5\) kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,SB,SC,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \). Biết \(\overrightarrow P = m.\overrightarrow g \) trong đó \(\overrightarrow g \) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn \(10\)m/s², \(\overrightarrow P \) là trọng lượng của vật có đơn vị kg.

Khi đó:

a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vectơ đồng phẳng.

b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\)

c) Độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm bằng \(50N\).

d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{2}N\).

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. \(1.\)

B. \(2.\)

C. \(3.\)

D. \(4.\)

Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai?

a) \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'D} .\)

b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} .\)

c) \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right| = a\sqrt 2 .\)

d) \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = a.\)

A. \(2.\)

B. \(3.\)

C. \(1.\)

D. \(4.\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 4\), \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\). Khi đó độ dài \(\overrightarrow {AC} \) là

A. \(3.\)

B. \(6.\)

C. \(4.\)

D. \(12.\)

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(2\sqrt 3 \). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} .\)

A. \(\sqrt 3 .\)

B. \(\sqrt 2 .\)

C. \(2\sqrt 6 .\)

D. \(2\sqrt 2 .\)

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c .\) Gọi \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\). Vectơ \(\overrightarrow {AG'} \) bằng

A. \(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)

B. \(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)

C. \(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + 3\overrightarrow c } \right).\)

D. \(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)

Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) có cạnh bằng \(a\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} \) bằng:

A. \({a^2}\sqrt 2 .\)

B. \({a^2}.\)

C. \({a^2}\sqrt 3 .\)

D. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\); \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\); \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Chọn khẳng định đúng ?

A. \(\cos \alpha = \frac{3}{8}.\)

B. \(\alpha = 30^\circ.\)

C. \(\cos \alpha = \frac{1}{3}.\)

D. \(\alpha = 60^\circ.\)

Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)

B. \(\overrightarrow a.\overrightarrow b = 0.\)

C. \(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - 1.\)

D. \(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

A. \(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\)

B. \(\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\)

C. \(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)

D. \(\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)

Cho tứ diện \(ABCD\). Lấy \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Phát biểu nào sau đây là sai?

A. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)

B. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)

C. \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = 3\overrightarrow {CG} .\)

D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .\)

II. Thông hiểu

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \), \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow b.\)

B. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow a.\)

C. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c.\)

D. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c + \frac{1}{2}\overrightarrow b.\)

Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)

B. \(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)

C. \(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)

D. \(\overrightarrow a.\overrightarrow b = 0.\)

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = 90^\circ.\)

B. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 45^\circ.\)

C. \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = 90^\circ.\)

D. \(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 45^\circ.\)