a) Ta có:

$xy - x + 2y = 3$
$x(y - 1) + 2y = 3$
Để xuất hiện nhân tử chung $(y - 1)$, ta cộng thêm vào hai vế của phương trình số $-2$:

$x(y - 1) + 2y - 2 = 3 - 2$
$x(y - 1) + 2(y - 1) = 1$
$(x + 2)(y - 1) = 1$
Vì $x, y \in \mathbb{Z}$ nên $(x + 2)$ và $(y - 1)$ là các ước nguyên của $1$.

Ta có bảng giá trị sau:

x+2
y−1
x
y
$1$
$1$
$-1$
$2$
$-1$
$-1$
$-3$
$0$
Vậy các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn đề bài là: $(-1; 2)$ và $(-3; 0)$.

b) Xét biểu thức $101M$ và $101N$:

Với $M$:

$101M = 101 \cdot \frac{101^{102} + 1}{101^{103} + 1} = \frac{101^{103} + 101}{101^{103} + 1}$
$101M = \frac{(101^{103} + 1) + 100}{101^{103} + 1} = 1 + \frac{100}{101^{103} + 1}$
Với $N$:

$101N = 101 \cdot \frac{101^{103} + 1}{101^{104} + 1} = \frac{101^{104} + 101}{101^{104} + 1}$
$101N = \frac{(101^{104} + 1) + 100}{101^{104} + 1} = 1 + \frac{100}{101^{104} + 1}$
So sánh:

Vì $101^{103} + 1 < 101^{104} + 1$ nên ta có:

$\frac{100}{101^{103} + 1} > \frac{100}{101^{104} + 1}$
$\Rightarrow 1 + \frac{100}{101^{103} + 1} > 1 + \frac{100}{101^{104} + 1}$
$\Rightarrow 101M > 101N$
$\Rightarrow M > N$
Vậy $M > N$.